【題目】如圖, 是邊長為的等邊三角形,邊在射線上,且,點從點出發(fā),沿OM的方向以1cm/s的速度運動,當D不與點A重合時,將繞點C逆時針方向旋轉60°得到,連接DE.

(1)如圖1,求證: 是等邊三角形;

(2)如圖2,當6<t<10時,DE是否存在最小值?若存在,求出DE的最小值;若不存在,請說明理由.

(3)當點D在射線OM上運動時,是否存在以D,E,B為頂點的三角形是直角三角形?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)存在, DE=2cm;(3)存在,當t=2或14s時,以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.

【解析】試題分析:

1)由旋轉的性質(zhì)結合△ABC是等邊三角形可得∠DCB=60°,CD=CE,從而可得△CDE是等邊三角形;

2)由(1)可知△CDE是等邊三角形,由此可得DE=CD,因此當CDAB時,CD最短,則DE最短,結合△ABC是等邊三角形,AC=4即可求得此時DE=CD=

3由題意需分0≤t6,6t10t10三種情況討論,0≤t6,由旋轉可知,∠ABE=60°,BDE60°,由此可知此時若△DBE是直角三角形,則∠BED=90°;6t10s時,由性質(zhì)的性質(zhì)可知∠DBE=120°90°,由此可知此時DBE不可能是直角三角形;t10s時,由旋轉的性質(zhì)可知,∠DBE=60°,結合∠CDE=60°可得∠BDE=CDE+BDC=60°+BDC>60°,由此可得∠BED<60°,由此可知此時若△BDE是直角三角形,則只能是∠BDE=90°;這樣結合已知條件即可分情況求出對應的t的值了.

試題解析:

1∵將ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到BCE,

∴∠DCE=60°DC=EC,

∴△CDE是等邊三角形;

2)存在,當6t10時,

由(1)知,CDE是等邊三角形,

DE=CD,

由垂線段最短可知,當CD⊥AB時,CD最小,

此時∠ADC=90°∵∠ACD=60°,

∴∠ACD=30°

AD=AC=2,

CD=

DE=2cm);

3)存在,理由如下:

①當0s≤t6s時,由旋轉可知,∠ABE=60°,BDE60°

此時若△DBE是直角三角形,則∠BED=90°

由(1)可知,CDE是等邊三角形,

∴∠DEC=60°

∴∠CEB=∠BED-∠DEC=30°,

∴∠CDA=CEB=30°

∵∠CAB=60°,

∴∠ACD=ADC=30°,

DA=CA=4,

OD=OA﹣DA=6﹣4=2,

t=2÷1=2s);

②當6st10s時,由性質(zhì)的性質(zhì)可知∠DBE=120°90°,

∴此時△DBE不可能是直角三角形;

③當t10s時,由旋轉的性質(zhì)可知,∠DBE=60°,

又由(1)知∠CDE=60°

∴∠BDE=CDE+BDC=60°+BDC,

而∠BDC,

∴∠BDE60°,

∴只能∠BDE=90°,

從而∠BCD=30°,

BD=BC=4,

OD=14cm

t=14÷1=14s);

綜上所述:當t=2s14s時,以DEB為頂點的三角形是直角三角形.

練習冊系列答案
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