(1)∵二次函數(shù)y=ax
2+bx+8(a≠0)的圖象與y軸交與點(diǎn)C,
∴點(diǎn)C(0,8),即OC=8;
Rt△OBC中,BC=OC÷sin∠ABC=8÷
=4
,
OB=
=4,
則點(diǎn)B(4,0).
將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,得:
.
解得
,
故拋物線的解析式:y=-x
2+2x+8=-(x-1)
2+9,頂點(diǎn)D(1,9);
(2)在直線CD上存在點(diǎn)Q,能夠使以B,C,Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.理由如下:
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+m,
將C(0,8),D(1,9)代入,
得
,解得
,
則直線CD的解析式為y=x+8.
設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x+8).
以B,C,Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),分三種情況討論:
①當(dāng)BQ=BC=4
時(shí),有(x-4)
2+(x+8)
2=80,
整理,得2x
2+8x=0,
解得x
1=-4,x
2=0(不合題意,舍去).
當(dāng)x=-4時(shí),x+8=4,即此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4,4);
②當(dāng)CQ=BC=4
時(shí),有x
2+(x+8-8)
2=80,
整理,得2x
2=80,
解得x
1=2
,x
2=-2
.
當(dāng)x=2
時(shí),x+8=2
+8,即此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2
,2
+8);
當(dāng)x=-2
時(shí),x+8=-2
+8,即此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2
,-2
+8);
③當(dāng)QB=QC時(shí),有(x-4)
2+(x+8)
2=x
2+(x+8-8)
2,
整理,得8x+80=0,
解得x=-10.
當(dāng)x=-10時(shí),x+8=-2,即此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-10,-2).
綜上可知,在直線CD上存在點(diǎn)Q,能夠使以B,C,Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-4,4)或(2
,2
+8)或(-2
,-2
+8)或(-10,-2);
(3)設(shè)直線CD:y=x+8與x軸交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E(-8,0),OC=OE=8,∠CEO=45°.
設(shè)直線y=2x-4與直線CD交于點(diǎn)F,分兩種情況討論:
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F的下方時(shí),如右圖1,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q.
在四邊形EMPQ中,∠MPQ=360°-∠PME-∠PQE-∠MEQ=360°-90°-90°-45°=135°,
當(dāng)∠MPO=75°時(shí),∠OPQ=135°-75°=60°,∠POQ=30°,則直線OP的解析式為y=
x.
解方程組
,得
,
即此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(
,
);
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F的上方時(shí),如右圖2,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,設(shè)直線CD與直線OP交于點(diǎn)G.
在△MPG中,∠MGP=180°-∠PMG-∠GPM=180°-90°-75°=15°,
∴∠EGO=∠MGP=15°,
∴∠GOQ=∠GEO+∠EGO=45°+15°=60°,
∴直線OP的解析式為y=
x.
解方程組
,得
,
即此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(8+4
,8
+12).
綜上可知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
,
)或(8+4
,8
+12).