Question

【題目】如圖，在中，，，是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，則的長(zhǎng)為__.

Answer 1

【答案】

【解析】

過(guò)點(diǎn)B作邊BC的垂線截取BF=DC=3，即可構(gòu)造出兩直角邊分別為3和4，斜邊為5的直角三角形，連接AF易證明△AFB≌△ADC，連接FE易證明△AFE≌△ADE，從而求得DE=EF=5，進(jìn)而求得BC的長(zhǎng)，再根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)易求得AB的長(zhǎng)．

解：如圖過(guò)B作BC的垂線，垂足為B，并截取BF=CD，連接FE，AF．
∵∠FBE=90°，FB=3，BE=4
∴在Rt△FBE中,FE2=FB2+BE2=32+42=52
∴FE=5
又∵AB=AC，∠BAC=90°,
∴Rt△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠FBA=∠FBC-∠ABC=90°-45°=45°,
∴∠FBA=∠ACB,

在△AFB與△ADC中

∴△AFB≌△ADC（SAS）
∴∠2=∠3，AF=AD
又∵∠1+∠EAD+∠2=90°,
∴∠1+∠2=45°
∴∠FAE=∠1+∠3=∠1+∠2=45°
∴∠FAE=∠DAE
∴在△AFE與△ADE中

∴△AFE≌△ADE（SAS）
∴FE=DE=5
∴BC=BE+ED+DC=4+5+3=12
又∵在Rt△ABC中AB= BC cos∠ABC
即AB=12×cos45°=12=6.

故答案為：6.