Question

【題目】如圖所示，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，.

（1）如圖1，若，求證是等邊三角形；

（2）如圖1，在（1）的條件下，若點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，且是等邊三角形，的延長線交直線于點(diǎn)，求的長度；

（3）如圖2，在（1）的條件下，若點(diǎn)在線段上，是等邊三角形，且點(diǎn)沿著線段從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長度.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）18；（3）18.

【解析】

（1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得BA=BC，再得，即可證明是等邊三角形；

（2）證明，得出，繼而得到，即可求得PC的長度；

（3）取BC的中點(diǎn)H，分兩種情況證明，得出或，可知點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑是一條線段，據(jù)此求解即可.

解：（1）∵，，

，

是線段中點(diǎn)，，

，

是等邊三角形；

（2）∵、是等邊三角形，

∴，AB=BC，BD=BQ，，

∴，

∴，

，

，

，

，

，

；

（3）取BC的中點(diǎn)H，連接OH,連接CN，

分兩種情況討論：

當(dāng)M在線段上時(shí)，如圖2，

∵H是BC的中點(diǎn)，,

∴,

∴是等邊三角形,

∵是等邊三角形,

∴，OM=ON， ，

∴,

∴，

點(diǎn)從起點(diǎn)到作直線運(yùn)動(dòng),

∵當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B時(shí)，CN=BH=9,

∴點(diǎn)M從B運(yùn)動(dòng)到H時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)路徑的長度等于9；

當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)，如圖3，

∵H是BC的中點(diǎn)，,

∴,

∴是等邊三角形,

∵是等邊三角形,

∴，OM=ON， ，

∴,

∴，

點(diǎn)從到終點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),

∵當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C時(shí)，CN=CH=9,

∴點(diǎn)M從H運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)路徑的長度等于9；

綜上所述，的路徑長度為：.