Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線(xiàn)．

(1) 用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)過(guò)A、D兩點(diǎn)作⊙O，使圓心O在AB邊上 (保留畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法)

(2) 求證：BC為⊙O的切線(xiàn)；

(3) 如果AC=3，tanB=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）圖見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】

(1)因?yàn)?/span>AD是弦，所以圓心O即在AB上，也在AD的垂直平分線(xiàn)上；

(2)因?yàn)?/span>D在圓上，所以只要能證明OD⊥BC就說(shuō)明BC為⊙O的切線(xiàn)；

(3)根據(jù)∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再結(jié)合三角形相似就可求出圓的半徑的長(zhǎng)．

解答

(1)如圖所示，

(2)連接OD，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠BAD，

又∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD//AC，

∴∠ODB=∠C=90，

又∵OD為半徑，

∴BC是⊙O的切線(xiàn).

(3)∵AC=3，tanB=

∴BC=4，

∴AB=5，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=OD=r，BO=5r，

∵OD//AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴

即，

解得，r=，

∴⊙O的半徑為．