Question

如圖，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，PA=10，PB=8，PC=6，求∠BPC的度數(shù)（提示：利用旋轉(zhuǎn)）

Answer 1

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BA=BC，∠ABC=60°，則把△BPA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDC，連結(jié)DC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BP=BD=8，∠PBD=60°，DC=AP=10，則△PBE為等邊三角形，所以∠BPE=60°，PD=PB=8，由于PC=6，PD=8，DC=10，則PC²+PD²=DC²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠DPC=90°，于是有∠BPC=60°+90°=150°．

解答：解：∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∵把△BPA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDC，連結(jié)DC，如圖，
∴BP=BD=8，∠PBD=60°，DC=AP=10，
∴△PBE為等邊三角形，
∴∠BPE=60°，PD=PB=8，
在△PDC中，PC=6，PD=8，DC=10，
∵6²+8²=10²，
∴PC²+PD²=DC²，
∴△DCP為直角三角形，
∴∠DPC=90°，
∴∠BPC=60°+90°=150°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．