(2013•邵東縣模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,如圖所示,△AOB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,將△AOB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△DCB,使得點(diǎn)D落在x軸的正半軸上,連接OC,AD.
(1)求證:OC=AD;
(2)求OC的長(zhǎng);
(3)求過(guò)A、D兩點(diǎn)的直線的解析式.
分析:(1)利用△DCB是由△AOB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的,得出△DCB也是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,進(jìn)而求出△OBC≌△ABD即可得出答案;
(2)作CF⊥OD交x軸于點(diǎn)F.由勾股定理得:CF2=BC2-BF2,求出CF,進(jìn)而得出CO.
(3)首先求出A,D兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得出直線AD的解析式即可.
解答:解:(1)∵△AOB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,
∴OA=OB=AB=2,∠AOB=∠BAO=∠OBA=60°,
又△DCB是由△AOB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的,
∴△DCB也是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,
∴∠OBA=∠CBD=60°,OB=AB,BC=BD,
又∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC=∠ABD
∴△OBC≌△ABD(SAS),
∴OC=AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),

(2)如圖1,作CF⊥OD交x軸于點(diǎn)F,則F為BD的中點(diǎn),
∴BF=1,
在Rt△BCF中,BC=2,BF=1,
由勾股定理得:CF2=BC2-BF2=4-1=3,
CF=
3
,
在Rt△OCF中,OF=OB+BF=2+1=3,
由勾股定理得:OC2=OF2+CF2=9+3=12,
∴OC=
12
=2
3


(3)作AE⊥OB交x軸于點(diǎn)E,則E為OB的中點(diǎn),
∴OE=1,AE=CF=
3
,
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,
3
)又OD=OB+BD=2+2=4,
故D點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,0).
設(shè)過(guò)A、D兩點(diǎn)的直線的解析式為y=kx+b,將A,D點(diǎn)的坐標(biāo)代入得:
 
k+b=
3
4k+b=0
,
解得:
k=-
3
3
b=
4
3
3
,
∴過(guò)A、D兩點(diǎn)的直線的解析式為y=-
3
3
x+
4
3
3
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,正確利用圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)得出解析式是解題關(guān)鍵.
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x
x-1
-
1
x2-x
)÷(x+1)
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1
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27
|+
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周數(shù)x 6 7 9 10 12
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