Question

已知△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，交AC于E．

(1)如圖①，若AB＝6，CD＝2，求：CE的長；

(2)如圖②，當∠A為銳角時，連結BE，試判斷∠BAC與∠CBE的關系，并證明你的結論；

(3)若圖②中的邊AB不動，邊AC繞點A按逆時針旋轉，當∠BAC為鈍角時，如圖③，CA的延長線與⊙O相交于E．

請問：∠BAC與∠CBE的關系是否與(2)中你得出的關系相同？若相同，請加以證明；若不同，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(l)連結AD，∵AB為直徑，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，又CD＝2∴BD＝2，由CE·CA＝CD·CB，得6·CE＝2·(2＋2)，∴CE＝1; 　　(2)∠BAC與∠CBE的關系是：∠BAC＝2∠CBE．證明：連結AD，∵AB為直徑，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，又∠2＝∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE; 　　(3)相同．證明：連結AD，∵AB為直徑，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵∠CAD是圓內接四邊形AEBD的外角，∴∠2＝∠CBE，∴∠CAB＝2∠CBE．