Question

【題目】已知該拋物線y=x2+bx+c，經(jīng)過點(diǎn)B（-4，0）和點(diǎn)A（1，0）與y軸交于點(diǎn)C．

（1）確定拋物線的表達(dá)式，并求出C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1，經(jīng)過點(diǎn)B的直線l交拋物線于點(diǎn)E，且滿足∠EBO=∠ACB，求出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)，并說明理由；

（3）如圖2，M，N是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M在左，點(diǎn)N在右），分別過點(diǎn)M，N作PM∥x軸，PN∥y軸，PM，PN交于點(diǎn)P．點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，且始終保持MN=不變，當(dāng)△MNP的面積最大時(shí)，請直接寫出直線MN的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+3x-4，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）；（2）E1（，），E2（-，-）；（3）y=x-4或y=-x-．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案；

（2）根據(jù)勾股定理，可得BC的長，根據(jù)等角的正切值相等，可得HO的長，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BE的解析式，根據(jù)解方程組，可得E點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）由題意△PMN是等腰直角三角形，得PM=PN=1，設(shè)M（a，a2+3a-4）則N（a+1，a2+3a+1）或（a+1，a2+3a-5），代入拋物線的解析式即可求解．

試題解析：（1）y=x2+bx+c，經(jīng)過點(diǎn)B（-4，0）和點(diǎn)A（1，0），得

，解得，

拋物線的解析式為y=x2+3x-4，

當(dāng)x=0時(shí)，y=-4，

C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）；

（2）如圖：

由題意，得OB=OC=4，BC=4，

設(shè)l1與y軸交于點(diǎn)H，過A作AD⊥BC于點(diǎn)D，△ADB是等腰直角三角形，．

∵AD=BD=ABsin45°=，CD=，∠ACB=．

∵∠ACB=∠EBA，

∴HO=，H（0，），

設(shè)直線l1的解析式為y=kx+b，將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

k=，

l1的解析式為y=x+，

聯(lián)立拋物線與l1，得x+=x2+3x-4，

解得x=，E1（，）；

同理l2：y=-x-，

-x-=x2+3x-4，

解得x=-，E2（-，-），

綜上所述：E1（，），E2（-，-）；

（3）∵△PMN是直角三角形，斜邊MN=，

∴當(dāng)△PMN面積最大時(shí)，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=1，

由題意設(shè)M（a，a2+3a-4）則N（a+1，a2+3a-3）或（a+1，a2+3a-5），

∴a2+3a-3=（a+1）2+3（a+1）-4或a2+3a-5=（a+1）2+3（a+1）-4，

∴a=0或-．

①當(dāng)a=0時(shí)，M（0，-4），N（1，-3），設(shè)直線MN為y=kx+b，則，解得，所以直線MN為y=x-4．

②當(dāng)a=-時(shí)，M（-，-），N（-，-），

設(shè)直線MN為y=k′x+b′，則解得，

所以直線MN為y=-x-．