【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的三個頂點B(1,0),C(3,0),D(3,4),以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C,動點P從點A出發(fā),以每秒 個單位的速度沿線段AD向點D運動,運動時間為t秒,過點P作PE⊥x軸交拋物線于點M,交AC于點N.
(1)直接寫出點A的坐標(biāo),并求出拋物線的解析式;
(2)當(dāng)t為何值時,△ACM的面積最大?最大值為多少?
(3)點Q從點C出發(fā),以每秒1個單位的速度沿線段CD向點D運動,當(dāng)t為何值時,在線段PE上存在點H,使以C,Q,N,H為頂點的四邊形為菱形?
【答案】
(1)
解:(1)A(1,4),
由題意知,可設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+4
∵拋物線過點C(3,0),
∴0=a(3﹣1)2+4,
解得a=﹣1.
∴拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;
(2)
解:如圖1,
∵A(1,4),C(3,0),
∴可求直線AC的解析式為y=﹣2x+6.
∵點P(1+ ,4).
∴將x=1+ 代入y=﹣2x+6中,解得點N的縱坐標(biāo)為y=4﹣t,
∴把x=1+ ,代入拋物線的解析式中,可求點M的縱坐標(biāo)為4﹣ ,
∴MN=(4﹣ )﹣(4﹣t)=t﹣ ,
又點A到MN的距離為 ,C到MN的距離為2﹣ ,
即S△ACM=S△AMN+S△CMN= ×MN× + ×MN×(2﹣ )
= ×2(t﹣ )=﹣ (t﹣2)2+1.
當(dāng)t=2時,S△ACM的最大值為1.
(3)
解:由題意和(2)知,(3,0),Q(3,t),N( ,4﹣t),AB=4,
AG=4﹣(4﹣t)=t,BG=4﹣t,可求AC= ,
當(dāng)H在AC上方時,如圖2,過點N作NG⊥AB,
由四邊形CQNH是菱形,可知:CQ=CN=t,
此時,AN= ﹣t,NG∥BC,
∴ ,
,
解得:t=20﹣ ,
當(dāng)點H在AC下方時,如圖3,
由四邊形CQNH是菱形,可知:CH=HN=CQ=t,
∴HE=4﹣t﹣t=4﹣2t,EC=2﹣ ,
在直角三角形CHE中,CE2+HE2=CH2,
∴ ,
解得t= 或t=4(舍去),
所以,以C,Q,N,H為頂點的四邊形為菱形時,t= 或t=20﹣8 .
【解析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可以寫出點A的坐標(biāo);由頂點A的坐標(biāo)可設(shè)該拋物線的頂點式方程為y=a(x﹣1)2+4,然后將點C的坐標(biāo)代入,即可求得系數(shù)a的值;(2)利用待定系數(shù)法求得直線AC;由圖形與坐標(biāo)變換可以求得點P的坐標(biāo),進一步表示點M,N的坐標(biāo),得出面積關(guān)于t的二次函數(shù),由二次函數(shù)的最值可以求解;(3)因為菱形是鄰邊相等的平行四邊形,所以點H在直線EF上,分CH是邊和對角線兩種情況討論即可.
【考點精析】掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分;矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司欲招收職員一名,從學(xué)歷、經(jīng)驗和工作態(tài)度等三個方面對甲乙丙進行了初步測試,測試成績?nèi)缦卤恚?/span>
(1)如果將學(xué)歷、經(jīng)驗和工作態(tài)度三項得分按的比例確定各人的最終得分,并以此為據(jù)確定錄用者,那么誰將被錄用?
(2)自己確定學(xué)歷、經(jīng)驗和工作態(tài)度三項的權(quán),并根據(jù)自己的方案確定錄用者.
應(yīng)聘者 | 甲 | 乙 | 丙 |
項目 | |||
學(xué)歷 | |||
經(jīng)驗 | |||
工作態(tài)度 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,O為坐標(biāo)原點,四邊形OACB是菱形,OB在x軸的正半軸上,sin∠AOB= ,反比例函數(shù)y= 在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A,與BC交于點F,則△AOF的面積等于( )
A.60
B.80
C.30
D.40
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】聯(lián)想與探索:
如圖1,將線段A1A2本向右平移1個單位長度至B1B2,得到封閉圖形A1A2B2B1(即陰影部分),在圖2中,將折線A1A2A3向右平移1個單位長度至B1B2B3,得到封閉圖形A1A2A3B3B2B1(即陰影部分).
(1)在圖3中,請你類似地畫一條有兩個折點的折線,同樣向右平移1個單位長度,從而得到一個封閉圖形,并用陰影表示;
(2)請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積(設(shè)長方形水平方向長均為a,豎直方向長均為b) :S1= ,S2= ,S3= ;
(3)如圖4,在一塊長方形草地上,有一條彎曲的小路(小路任何地方的水平寬度都是2個單位長度,長方形水平方向長為a,豎直方向長為b),則空白部分表示的草地面積是多少?
(4)如圖5,若在(3)中的草地上又有一條橫向的曲小路(小路任何地方的寬度都是1個單位長度),則空白部分表示的草地面積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小明在大樓45米高(即PH=45米,且PH⊥HC)的窗口P處進行觀測,測得山坡上A處的俯角為15°,山腳B處得俯角為60°,已知該山坡的坡度i(即tan∠ABC)為1: .(點P、H、B、C、A在同一個平面上.點H、B、C在同一條直線上)
(1)∠PBA的度數(shù)等于度;(直接填空)
(2)求A、B兩點間的距離(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù): ≈1.414, ≈1.732).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB、CD相交于點O,OE⊥OD,OE平分∠AOF.
(1)∠BOD與∠DOF相等嗎?請說明理由.
(2)若∠DOF=∠BOE,求∠AOD的度數(shù).
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【題目】⑴ 一個數(shù)的平方等于它的本身的數(shù)是____________
⑵ 平方根等于它的本身的數(shù)是______________
⑶ 算術(shù)平方根等于它的本身的數(shù)是__________
⑷ 立方根等于它的本身的數(shù)是______________
⑸ 大于0且小于π的整數(shù)是________________
⑹ 滿足<x <的整數(shù)x是_______
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】菲爾茲獎是國際上享有崇高聲譽的一個數(shù)學(xué)獎項,每4年評選一次,頒給有卓越貢獻的年輕數(shù)學(xué)家,被視為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎.下面的數(shù)據(jù)是從1936年至2014年45歲以下菲爾茲獎得住獲獎時的年齡(歲): 39 35 33 39 27 33 35 31 31 37 32 38 36 31 39 32 38 37
34 34 38 32 35 36 33 32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38
34 33 40 36 36 37 31 38 38 37 35 40 39 37
請根據(jù)以上數(shù)據(jù),解答以下問題:
(1)小彬按“組距為5”列出了如下的頻數(shù)分布表,每組數(shù)據(jù)含最小值不含最大值,請將表中空缺的部分補充完整,并補全頻數(shù)分布直方圖:
分組 | 頻數(shù) |
A:25~30 | |
B:30~35 | 15 |
C:35~40 | 31 |
D:40~45 | |
總 計 | 50 |
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,小彬又畫出了如圖所示的扇形統(tǒng)計圖,圖中B組所對的圓心角的度數(shù)為;
(3)根據(jù)(1)中的頻數(shù)分布直方圖試描述這50位菲爾茲獎得主獲獎時的年齡的分布特征.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y1=x+m與x軸、y軸分別交于點A、B,與雙曲線(x<0)分別交于點C、D,且C點的坐標(biāo)為(﹣1,2).
(1)分別求出直線AB及雙曲線的解析式;
(2)求出點D的坐標(biāo);
(3)利用圖象直接寫出:當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時,y1>y2?
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