Question

【題目】已知：在矩形ABCD中，E為邊BC上的一點(diǎn)，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F(xiàn)為線段BE上一點(diǎn)，EF=7，連接AF．如圖1，現(xiàn)有一張硬紙片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜邊MN與邊BC在同一直線上，點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，點(diǎn)G在線段DE上．如圖2，△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿EB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿AD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q為直線GN與線段AE的交點(diǎn)，連接PQ．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)，△GMNP和點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，解答問(wèn)題：

（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時(shí)，求t的值；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△GMN與△AEF重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）t=10秒；（2）存在，t=，或秒；（3）；；；．

【解析】

（1）由勾股定理，求出MN的長(zhǎng)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到AE上時(shí)的距離MN的長(zhǎng)，離從而除以速度即得t的值；

（2）△APQ是等腰三角形，分為三種情形，需要分類討論，避免漏解．如答圖2、答圖3、答圖4所示；

（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為四個(gè)階段，每個(gè)階段重疊圖形的形狀各不相同，如答圖5-答圖8所示，分別求出其面積的表達(dá)式．

解：（1）∵∠NGM=900，NG=6，MG=8，，

∴由勾股定理，得NM=10．

當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時(shí)，如圖，

此時(shí)，GG′=MN=10．

∵△GMN從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿EB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，

∴t=10秒．

（2）存在符合條件的點(diǎn)P．

在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．

設(shè)∠AEB=θ，則sinθ=，cosθ=．

∵NE=t，∴QE=NEcosθ=t，AQ=AE-QE=20-t．

△APQ是等腰三角形，有三種可能的情形：

①AP=PQ．如答圖2所示：

過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AE于點(diǎn)K，則AK=APcosθ=t．

∵AQ=2AK，∴20-t=2×t，

解得：t=；

②AP=AQ．如答圖3所示：

有t=20-t，

解得：t=；

③AQ=PQ．如答圖4所示：

過(guò)點(diǎn)Q作QK⊥AP于點(diǎn)K，則AK=AQcosθ=（20-t）×=16-t．

∵AP=2AK，∴t=2（16-t），

解得：t=．

綜上所述，當(dāng)t=，或秒時(shí)，存在點(diǎn)P，使△APQ是等腰三角形．

由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20．

①當(dāng)0＜t≤10時(shí)，線段GN與線段AE相交，如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，QI⊥AB于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥IJ于點(diǎn)J．

根據(jù)題意，知AP=EN=t，

由△QNE∽△GNM得，即

∴，∴．

由△QHE∽△NGM得，即，

∴

∴．

∴．

若AP=AQ，則，解得，不存在；

若AP=PQ，則，

∴△＜0，無(wú)解，不存在；

若AQ=PQ，則，無(wú)正數(shù)解，不存在．

②當(dāng)10＜t≤16時(shí)，線段GN的延長(zhǎng)線與線段AE相交，如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，QI⊥AB于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥IJ于點(diǎn)J．

同上，AP=EN=t，

由△QNE∽△GNM得，即，

∴∴．

由△QHE∽△NGM得，即，

∴

∴．

∴．

若AP=AQ，則，解得．

若AP=PQ，則，

∴△＜0，無(wú)解，不存在；

若AQ=PQ，則，無(wú)正數(shù)解，不存在．

綜上所述，存在，使△APQ是等腰三角形．

（3）當(dāng)0＜t≤7時(shí)，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于△QNE的面積，

由（2）①，EN=t，，∴．

當(dāng)7＜t≤10時(shí)，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形QIFE的面積，它等于△NQE的面積減去△NIF的面積．

由（2）①，EN=t，，∴．

過(guò)點(diǎn)I 作IJ⊥BC于點(diǎn)J，

∵EF=7，EN=t，∴．

由△FJI∽△FBA得，即．

由△INJ∽△MNG得，即．

二式相加，得．∴

∴．

當(dāng)10＜t≤時(shí)，如圖，△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形GIFM的面積，它等于△GMN的面積減去△INF的面積．

過(guò)點(diǎn)I 作IH⊥BC于點(diǎn)H，

∵EF=7，EN=t，∴．

由△FHG∽△FBA得，即．

由△INH∽△MNG得，即．

二式相加，得．∴．

∴．

④當(dāng)＜t≤16時(shí)時(shí)，如答圖8所示：

FM=FE-ME=FE-（NE-MN）=17-t．

設(shè)GM與AF交于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)I作IK⊥MN于點(diǎn)K．
∵tan∠IFK==，∴可設(shè)IK=4x，FK=3x，則KM=3x+17-t．
∵tan∠IMF==，

解得：x=（17-t）．

∴IK=4x=（17-t）．

∴S=FMIK=（t-17）2．

綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：；；；．