Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接DP、DA．
（1）請用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求t為何值時(shí)，△DPA的面積最大，最大為多少？
（3）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；
（4）請直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，再求出CP的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相似的性質(zhì)即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)D點(diǎn)的坐標(biāo)及三角形的面積公式直接求解即可；
（3）先判斷出可能為直角的角，再根據(jù)勾股定理求解；
（4）根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線與OB平行且相等解答即可．
解答：解：（1）∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
設(shè)CP的中點(diǎn)為F，
則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，1），
∴將線段CP的中點(diǎn)F繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D，其坐標(biāo)為（t+1，）；

（2）∵D點(diǎn)坐標(biāo)為（t+1，），OA=4，
∴S_△DPA=AP×=（4-t）×=（4t-t²）=-（t-2）²+1，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S_最大=1；

（3）能夠成直角三角形．
①當(dāng)∠PDA=90°時(shí)，PC∥AD，

由勾股定理得，PD²+AD²=AP²，
即（）²+1+（4-t-1）²+（）²=（4-t）²，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②當(dāng)∠PAD=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)D在AB上，

可知，△COP∽△PAD，
∴=，
∴=，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
綜上，可知當(dāng)t為2秒或3秒時(shí)，△DPA能成為直角三角形．

（4）∵根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線與OB平行且相等，OB=2，
∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長為2．
點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，是動(dòng)點(diǎn)問題在實(shí)際生活中的運(yùn)用，結(jié)合了二次函數(shù)、直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，具有一定的綜合性．