Question

（2013•江都市二模）小明在玩一副三角板時發(fā)現(xiàn)：含45°角的直角三角板的斜邊可與含30°角的直角三角板的較長直角邊完全重合（如圖①）．即△C′DA′的頂點(diǎn)A′、C′分別與△BAC的頂點(diǎn)A、C重合．其中AB=

2

，現(xiàn)在，他讓△C′DA′固定不動，
將△BAC通過變換使斜邊BC經(jīng)過△C?DA?的直角頂點(diǎn)D．
（1）求A′D的長度．
（2）如圖②，將△BAC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜180°），使BC邊經(jīng)過點(diǎn)D，則α=

15

°．
（3）如圖③，將△BAC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使BC邊經(jīng)過點(diǎn)D．求點(diǎn)C走過的路線長．
（4）如圖④，將△BAC沿射線A′C′方向平移m個單位長度，使BC邊經(jīng)過點(diǎn)D，求m的值．

Answer 1

分析：（1）求出AC，解直角三角形求出A′D即可；
（2）根據(jù)圖形和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出即可；
（2）求出旋轉(zhuǎn)角，半徑，根據(jù)弧長公式求出即可；
（4）根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出A′H，根據(jù)相似求出CH，即可求出m值，

解答：解：（1）如圖1：

∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=

2

，
∴AC=

AB

tan30°

=

6

，
∵在Rt△A′DC′中，∠A′C′D=45°，A′C′=

6

，
∴A′D=A′C•tan45°=

3

．

（2）如圖2：

α=∠A′C′A=45°-30°=15°，
故答案為：15．

（3）如圖3：

過A作AH⊥BC于H，
則∠AHC=90°，
∵∠C=30°，
∴∠HAC=60°，
∴旋轉(zhuǎn)角∠CAC′=90°-60°=30°，
∵AC=A′C′=

6

，
∴點(diǎn)C走過的路線長是

30•π• 6

180

=

6

3

π．

（4）如圖4，過D作DH⊥AC于H，

∵A′D=DC，∠A′DC′=90°，
∴DH=

1

2

A′C′=

6

2

，
∵∠DHC=∠BAC=90°，∠C=∠C，
∴△DHC∽△BAC，
∴

BA

DH

=

AC

HC

，
∴CH=

3 × 6 2

2

=

3 2

2

，
∴m的值是CC′=CH-C′H=

3 2

2

-

6

2

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．