【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點O為坐標原點,點D為拋物線的頂點,點E在拋物線上,點F在x軸上,四邊形OCEF為矩形,且OF=2,EF=3,
(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)求△ABD的面積;
(3)將△AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點A對應(yīng)點為點G,問點G是否在該拋物線上?請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵四邊形OCEF為矩形,OF=2,EF=3,

∴點C的坐標為(0,3),點E的坐標為(2,3).

把x=0,y=3;x=2,y=3分別代入y=﹣x2+bx+c中,

,

解得 ,

∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=﹣x2+2x+3


(2)

解:∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴拋物線的頂點坐標為D(1,4),

∴△ABD中AB邊的高為4,

令y=0,得﹣x2+2x+3=0,

解得x1=﹣1,x2=3,

所以AB=3﹣(﹣1)=4,

∴△ABD的面積= ×4×4=8


(3)

解:△AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,CO落在CE所在的直線上,由(2)可知OA=1,

∴點A對應(yīng)點G的坐標為(3,2),

當x=3時,y=﹣32+2×3+3=0≠2,所以點G不在該拋物線上


【解析】(1)在矩形OCEF中,已知OF、EF的長,先表示出C、E的坐標,然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的解析式.(2)根據(jù)(1)的函數(shù)解析式求出A、B、D三點的坐標,以AB為底、D點縱坐標的絕對值為高,可求出△ABD的面積.(3)首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出G點的坐標,然后將點G的坐標代入拋物線的解析式中直接進行判定即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識,掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點,以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.

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(2)

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(2)將矩形EFGH沿y軸向上平移t個單位. ①直線GH與x軸交于點D,若AD∥BO,求t的值;
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