Question

如圖甲，在等腰直角三角形OAB中，∠OAB=90°，B點(diǎn)在第一象限，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．△OCD與△OAB關(guān)于y軸對稱．
（1）求經(jīng)過D，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）若將△OAB向上平移k（k＞0）個單位至△O′A′B（如圖乙），則經(jīng)過D，O，B′三點(diǎn)的拋物線的對稱軸在y軸的

 

．（填“左側(cè)”或“右側(cè)”）
（3）在（2）的條件下，設(shè)過D，O，B′三點(diǎn)的拋物線的對稱軸為直線x=m．求當(dāng)k為何值時，|m|=

1

3

．

Answer 1

分析：（1）依題意設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²．把點(diǎn)B代入解析式求出拋物線的表達(dá)式．
（2）結(jié)合圖形解答．△OAB≌△OCD，當(dāng)將其上移，經(jīng)過D，O，B′三點(diǎn)的拋物線的對稱軸顯然在y軸左側(cè)
（3）設(shè)出拋物線解析式，將D和和B′點(diǎn)坐標(biāo)代入，得出拋物線系數(shù)與k的關(guān)系，再由m的取值，求得k．

解答：解：（1）由題意可知：經(jīng)過D，O，B三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，
故可設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²．
∵OA=AB，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）．（1分）
∵B（1，1）在拋物線上，
∴1=a×1²，a=1，（1分）
∴經(jīng)過D，O，B三點(diǎn)的拋物線解析式是y=x²．（1分）

（2）把△OAB上移，由圖可知經(jīng)過D，O，B′三點(diǎn)的拋物線的對稱軸顯然在y軸左側(cè)．（1分）

（3）由題意得：點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，1+k），（1分）
因?yàn)閽佄锞�過原點(diǎn)，
故可設(shè)拋物線解析式為y=a₁x²+b₁x，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)D（-1，1）和點(diǎn)B′（1，1+k），
∴

1=a1-b1 1+k=a1+b1

．
得a₁=

k+2

2

，b₁=

k

2

．（2分）
∵拋物線對稱軸必在y軸的左側(cè)，
∴m＜0，而|m|=

1

3

，
∴m=-

1

3

∴-

k 2

2× k+2 2

=-

1

3

，
∴k=4（2分）
即當(dāng)k=4時，|m|=

1

3

．（1分）

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，難度中上．