Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，

3

），若把線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，可得線段OB．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)，求該函數(shù)的解析式；
（3）在第（2）小題所求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使△OAP的周長(zhǎng)最小，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)易知∠AOx=60°，若將OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B則正好落在x軸負(fù)半軸上，易求得OA的長(zhǎng)，即可得到OB的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）已知了函數(shù)圖象上三點(diǎn)的坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式．
（3）在△OAP中，OA的長(zhǎng)是定值，若三角形的周長(zhǎng)最小，那么AP+OP的值最小；由于O、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，若連接AB，那么直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，易求得直線AB的解析式，聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）作AC⊥x軸于C，
∵點(diǎn)A（1，

3

），即OC=1，AC=

3

，
∴∠AOC=60°，OA=2；（1分）
∴點(diǎn)B（-2，0）．（2分）

（2）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)O（0，0），
∴可設(shè)所求解析式為y=ax²+bx．
把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入上式，得：

a+b= 3 4a-2b=0

，（3分）
解得a=

3

3

，b=

2 3

3

；
∴所求解析式為y=

3

3

x²+

2 3

3

x．（4分）

（3）存在，
∵點(diǎn)O和B關(guān)于拋物線y=

3

3

x²+

2 3

3

x的對(duì)稱軸直線x=-1對(duì)稱，
∴直線AB與直線x=-1的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P；（5分）
把點(diǎn)A（1，

3

）、B（-2，0）分別代入y=kx+b，
可求得直線AB的解析式為：y=

3

3

x+

2 3

3

，（6分）
令x=-1，得y=

3

3

；
∴點(diǎn)P（-1，

3

3

）．（7分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、平面展開-最短路徑等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，難度適中．