Question

（2013•澄江縣一模）在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=

2 3

x

（x＞0）圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的動(dòng)⊙P始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．

（1）如圖1，動(dòng)⊙P與x軸相切，設(shè)與x軸的切點(diǎn)為K，求此時(shí)⊙P的面積．
（2）如圖2，動(dòng)⊙P與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B、C．當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)，求此時(shí)⊙P的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)以及正方形的判定和矩形的判定得出四邊形OKPA是正方形，進(jìn)而得出答案；
（2）首先得出△PBC是等邊三角形，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PB=PA的長(zhǎng)，即可得出⊙P的面積．

解答：解：（1）∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切
∴PA⊥OA，PK⊥OK
∴∠PAO=∠OKP=90°，而∠AOK=90°
∴四邊形OKPA是矩形，而PA=PK
∴四邊形OKPA是正方形．
∴PA=PK=r，
∴r²=2

3

，
∴⊙P的面積=r²π=2

3

π；

（2）連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，
則其縱坐標(biāo)為

2 3

x

．
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，
∵四邊形ABCP為菱形
∴BC=PC=PA=AB，而 PA=PB=PC，
∴△PBC是等邊三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=

2 3

x

．
sin60°=

PG

PB

，
即

3

2

=

2 3 x

x

解得：x=±2（負(fù)值舍去）
∴PA=BC=r=2，
∴⊙P的面積=4π．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合、菱形的性質(zhì)以及矩形的判定和正方形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出△PBC是等邊三角形是解題關(guān)鍵．