Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，直線l別交x軸和y軸于點A（－3，0），B（0，3）．

（1）如圖1，已知⊙P經過點O，且與直線l1相切于點B，求⊙P的直徑長；

（2）如圖2，已知直線l2：y＝3x－別交x軸和y軸于點C和點D，點Q是直線l2上的一個動點，以Q為圓心，2為半徑畫圓．

①當點Q與點C重合時，求證：直線l1與⊙Q相切；

②設⊙Q與直線l1相交于M，N兩點，連結QM，QN．問：是否存在這樣的點Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②（，）或（，）．

【解析】

（1）證明△ABC為等腰直角三角形，則⊙P的直徑長=BC=AB，即可求解；

（2）證明圓的半徑，即可求解；

（3）分點M、N在兩條直線交點的下方、點M、N在兩條直線交點的上方兩種情況，分別求解即可．

解：（1）如圖1，連接BC，

∵∠BOC＝90°，∴點P在BC上，

∵⊙P與直線l1相切于點B，

∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，

∴△ABC為等腰直角三角形，

則⊙P的直徑長＝BC＝AB＝；

（2）①過點作CM⊥AB，

由直線l2：y＝3x－3得：點C（1，0），

則圓的半徑，

故點M是圓與直線l1的切點，

即：直線l1與⊙Q相切；

②如圖3，

當點M、N在兩條直線交點的下方時，

由題意得：MQ＝NQ，∠MQN＝90°，

設點Q的坐標為（m，3m－3），則點N（m，m＋3），

則 ，

解得：；

當點M、N在兩條直線交點的上方時，

同理可得：；

故點Q的坐標為（，）或（，）．