Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（18，0），B（12，8），C（0，8），動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從原點(diǎn)O、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)P沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在線段BC上以每秒1的單位長度的速度向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），直線PQ與直線AB交于點(diǎn)D．
（1）直接寫出線段AB的長為

 

；
（2）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)t=2時(shí)，求直線PQ的表達(dá)式以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（4）直接寫出所有t的值，使得此時(shí)△ADP是等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過B作BE⊥OA于點(diǎn)E，在Rt△ABE中由勾股定理可求得AB；
（2）利用待定系數(shù)法，設(shè)直線AB為y=kx+b，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得k、b的值，可求得直線AB解析式；
（3）由條件可知P為（2，0），BQ=4，可求得CQ=12-4=8，可得到Q點(diǎn)坐標(biāo)為（8，8），利用待定系數(shù)法可求得直線PQ的解析式，聯(lián)立直線AB和直線PQ的解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）由題意可知AP=18-t，BQ=2t，AB=10，當(dāng)AP=AD=18-t時(shí)，則有DB=BQ，即有18-t-10=2t；當(dāng)AP=DP=18-t時(shí)，則有DQ=QB=2t，PQ=18-3t，過Q作QM⊥OA于點(diǎn)M；當(dāng)DP=AD時(shí)，則有PQ=AB=10，過Q作QN⊥OA于N；結(jié)合勾股定理可得到關(guān)于t的方程，可求得t．

解答：解：（1）如圖1，過B作BE⊥OA于點(diǎn)E，

∵A為（18，0），B為（12，8），
∴AE=OA-BC=18-12=6，BE=OC=8，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求得AB=10，
故答案為：10；
（2）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得

18k+b=0 12k+b=8

，
解得

k=- 4 3 b=24

．
故直線AB解析式為y=-

4

3

x+24；
（3）當(dāng)t=2時(shí)，則OP=2，BQ=4，
∴CQ=CB-BQ=12-4=8，
∴P點(diǎn)為（2，0），Q點(diǎn)為（8，8），
設(shè)直線PQ解析式為y=mx+n，把P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得

2m+n=0 8m+n=8

，
解得

m= 4 3 n=- 8 3

．
∴直線PQ解析式為y=

4

3

x-

8

3

，
聯(lián)立直線AB和PQ解析式可得

y=- 4 3 x+24 y= 4 3 x- 8 3

，
解得

x=10 y= 32 3

．
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（10，

32

3

）；
（4）由題意可知AP=18-t，BQ=2t，AB=10，
當(dāng)AP=AD=18-t時(shí)，則有DB=BQ，即18-t-10=2t，解得t=

8

3

；
當(dāng)AP=DP=18-t時(shí)，則有DQ=QB=2t，
∴PQ=PD-DQ=18-3t，
如圖2，過Q作QM⊥OA于點(diǎn)M，

則QM=OC=8，OM=CQ=BC-QB=12-2t，
∴PM=OM-OP=12-2t-t=12-3t，
在Rt△PQM中，由勾股定理可得PQ²=PM²+QM²，
即（18-3t）²=（12-3t）²+8²，解得t=

29

9

；
當(dāng)DP=AD時(shí)，則有PQ=AB=10，如圖3，過Q作QN⊥OA于N，則QN=8，

在Rt△PQN中，由勾股定理可求得PN=6，則OP=2，即t=2；
綜上可知當(dāng)t=

8

3

或

29

9

或2時(shí)，△APD為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和等腰三角形的判定、勾股定理、圖象的交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用．求函數(shù)解析式時(shí)求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（4）中分三種情況利用t表示出相應(yīng)線段的長度，并找到線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．注意方程思想和分類討論思想的應(yīng)用．