【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),其頂點(diǎn)為D,連接AD,點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)如圖1,過點(diǎn)PPEy軸于點(diǎn)E.求PAE面積S的最大值;

(3)如圖2,拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得四邊形OAPQ為平行四邊形?若存在求出Q點(diǎn)坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,4);(2)PAE面積S的最大值是;(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣2+,2﹣4).

【解析】

(1)根據(jù)拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),可以求得該拋物線的解析式,然后將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式,從而可以得到該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),即點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)根據(jù)題意和點(diǎn)A和點(diǎn)D的坐標(biāo)可以得到直線AD的函數(shù)解析式,從而可以設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后根據(jù)圖形可以得到APE的面積,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到PAE面積S的最大值;

(3)根據(jù)題意可知存在點(diǎn)Q使得四邊形OAPQ為平行四邊形,然后根據(jù)函數(shù)解析式和平行四邊形的性質(zhì)可以求得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),

,得

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,4),

即該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,4);

(2)設(shè)直線AD的函數(shù)解析式為y=kx+m,

,得,

∴直線AD的函數(shù)解析式為y=2x+6,

∵點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合),

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,2p+6),

SPAE=﹣(p+2+,

﹣3<p<﹣1,

∴當(dāng)p=﹣時(shí),SPAE取得最大值,此時(shí)SPAE,

PAE面積S的最大值是;

(3)拋物線上存在一點(diǎn)Q,使得四邊形OAPQ為平行四邊形,

∵四邊形OAPQ為平行四邊形,點(diǎn)Q在拋物線上,

OA=PQ,

∵點(diǎn)A(﹣3,0),

OA=3,

PQ=3,

∵直線ADy=2x+6,點(diǎn)P在線段AD上,點(diǎn)Q在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,2p+6),點(diǎn)Q(q,﹣q2﹣2q+3),

,

解得,(舍去),

當(dāng)q=﹣2+時(shí),﹣q2﹣2q+3=2﹣4,

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣2+,2﹣4).

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(1)求BCD的度數(shù).

(2)求教學(xué)樓的高BD.(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):tan20°0.36,tan18°0.32)

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(2)若OCPPDA的面積比為1:4,求邊AB的長(zhǎng);

(3)如圖2,擦去折痕AO、線段OP,連結(jié)BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上,且BN=PM,連結(jié)MNPB于點(diǎn)F,作MEBP于點(diǎn)E.探究:當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段EF與線段PB有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.

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