【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形的邊長(zhǎng)為,點(diǎn),分別在軸正半軸與軸正半軸上,是對(duì)角線.點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)重合),到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng),射線軸于點(diǎn),,軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),連結(jié),.

1)求證:

2)請(qǐng)?zhí)骄浚?/span>的面積是否變化?若不變化,試求出的面積;若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)當(dāng)為何值時(shí),是等腰直角三角形;

4)過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng).

【答案】1)證明見(jiàn)解析; (2)三角形的面積=4,為定值;(3;(4運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為.

【解析】

1)由∠POB=POF+OPF=45°,∠POA=PEO+OPE=45°,∠EPF=EPO+OPD=45°,可得∠EPO=OFP,∠PEO=OPF;(2)由POE∽△FOP,可得,推出OP2=OEOF,由正方形OAPB的邊長(zhǎng)為2,推出OP=2,推出OEOF=8,由此即可解決問(wèn)題;(3)分兩種情形討論求解即可;(4)確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡,利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

1)證明:如圖1中,

∵四邊形OAPB是正方形,
∴∠POB=POA=45°,
∵∠POB=POF+OPF=45°,∠POA=PEO+OPE=45°,∠EPF=EPO+OPD=45°,
∴∠EPO=OFP,∠PEO=OPF
∴△POE∽△FOP;
2)解:結(jié)論:OEF的面積是定值,不變;
理由:∵△POE∽△FOP,

OP2=OEOF,
∵正方形OAPB的邊長(zhǎng)為2,
OP=2,
OEOF=8,
SOEF=OEOF=4
3)如圖2中,當(dāng)FP=FE,∠PFE=90°時(shí),易證FBP≌△EOF,
OF=BP=2,OE=BF=4
PBEO,
,
OC=,BC=,
m=.

如圖3中,當(dāng)PE=FE,∠PPEF=90°時(shí),易證FOD≌△EAP,
OE=AP=2,OF=AE=4,
PBEO,
=1
OC=BC=1,
m=1,

綜上所述,滿足條件的m的值為1
4)如圖4中,將PAD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PBK

易證CPD≌△CPK,
PGCD,PBCK
PG=PB=2,
∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是以P為圓心2為半徑的弧BD
∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)==π.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)填寫(xiě)下表:

中位數(shù)

眾數(shù)

隨機(jī)抽取的50人的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)成績(jī)(單位:分)

2)估計(jì)光明中學(xué)全體學(xué)生社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)成績(jī)的總分.

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...

...

...

...

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(1)求此拋物線的解析式.

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