Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，6），點(diǎn)M在AB邊上，且BM=5AM，連接OM，作MD⊥OM交BC于點(diǎn)D．
（1）求證：OM=DM；
（2）求直線MD的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動（不與點(diǎn)A，B重合）且始終保持MD⊥OM（點(diǎn)D在BC上），
①設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a，求a的最小值及此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②點(diǎn)N也是線段AB上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合，連接ON、DN時，也有DN⊥ON．設(shè)BN=n，BM=m，直接寫出n與m的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求得MB的長，然后證明∠OMA=∠BDM，利用AAS即可證得△OAM≌△MBD，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等證得；
（2）首先求得D，M的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（3）①首先證明△OAM∽△MBD，設(shè)M的坐標(biāo)是（5，x），根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可得到x于a的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
②6-m和6-n都是方程a=x²-x+6的根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求得．
解答：解：（1）證明：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，6），
∴OA=BC=5，AB=OC=6，
∵BM=5AM，
∴BM=5，AM=1，
∴BM=OA，
∵M(jìn)D⊥OM，
∴∠DMB=∠OMA=90°，
又∵∠B=90°，
∴∠DMB+∠BDM=90°，
∴∠OMA=∠BDM，
在△OAM和△MBD中，
，
∴△OAM≌△MBD；
∴OM=DM；

（2）∵△OAM≌△MBD，
∴BD=AM=1，
則M的坐標(biāo)是（5，1），D的坐標(biāo)是（4，6），
設(shè)直線MD的函數(shù)關(guān)系式是y=kx+b，
則，
解得：，
則函數(shù)的解析式是：y=-5x+26；

（3）①設(shè)M的坐標(biāo)是（5，x），
∵在△OAM和△MBD，∠OMA=∠BDM，∠B=∠OAM，
∴△OAM∽△MBD，
∴=，即=，
解得：a=x²-x+6，
則當(dāng)x=3時a有最小值是：×9-×3+6=；
M的坐標(biāo)是（5，3）；
②∵點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合，連接ON、DN時，也有DN⊥ON，
∴6-m和6-n都是方程a=x²-x+6的根，
∴6-m+（6-n）=3，則m+n=9．
即n=9-m（0＜m＜6）．
點(diǎn)評：本題是全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用，正確求得x于a的函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．