Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點(diǎn)E，N，M，連接EO．

（1）已知BD= ，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；
（2）猜想線段CM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形 ABCD 是正方形，

∴△ABD 是等腰直角三角形，

∴2AB2=BD2，

∵BD= ，∴AB=1，

∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1．

（2）

解：CN= CM.

證明如下：∵CF=CA，CE是∠ACF的平分線，

∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，

∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，

在△ABF 和△CBN 中，

∴△ABF≌△CBN（ASA），∴AF=CN，

∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，∴∠BAF=∠OCM，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF=∠COM=90°，

∴△ABF~△COM，

∴ ，∴ ，

即CN= CM.

【解析】（1）由正方形的性質(zhì)易得2AB2=BD2 ， 而BD已知，即可解出AB；（2）根據(jù)“ASA”，證明△ABF≌△CBN，則AF=CN；再證明△ABF~△COM，則 ，即 .