【題目】如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),A(﹣5,0),與y軸交于C(0,﹣5),并且對(duì)稱軸x=﹣3.
(1)求拋物線的解析式;
(2)P在x軸上方的拋物線上,過P的直線y=x+m與直線AC交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,求PM+MN的最大值;
(3)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),
①當(dāng)△ACD是以AC為直角邊的直角三角形時(shí),求D點(diǎn)坐標(biāo);
②若△ACD是銳角三角形,求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的取值范圍.
【答案】(1)y=﹣x2﹣6x﹣5;(2)PM+MN的最大值為9;(3)①點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣3,2)或(﹣3,﹣8);②D的縱坐標(biāo)的取值范圍是﹣8<y<﹣6或1<y<2
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法求解可得;
(2)易得AC解析式為,作軸,交AC于H,作軸,設(shè),由MN的解析式為知,據(jù)此得,再根據(jù)及二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步求解可得;
(3)①設(shè),先利用兩點(diǎn)間的距離公式得到,再討論:當(dāng)△ACD是以AC為直角邊、CD為斜邊和以AC為直角邊、AD為斜邊的直角三角形時(shí),分別解方程求出y即可得到對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)坐標(biāo);
②由于當(dāng)△ACD是以AC為斜邊的直角三角形時(shí),,解方程得到y的值,然后結(jié)合圖形可確定△ACD是銳角三角形時(shí),點(diǎn)D縱坐標(biāo)的取值范圍.
(1)∵拋物線過,對(duì)稱軸為直線
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為
可設(shè)拋物線解析式為
將點(diǎn)代入得
解得
則拋物線的解析式為
故拋物線的解析式為;
(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為
∴直線AC解析式為
過點(diǎn)P作軸,交AC于H,作PG⊥y軸于G
∵MN的解析式為
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)時(shí),取得最大值,最大值為
故的最大值為;
(3)①設(shè)
則
當(dāng)△ACD是以AC為直角邊、CD為斜邊的直角三角形時(shí)
,即
解得,則此時(shí)
當(dāng)△ACD是以AC為直角邊、AD為斜邊的直角三角形時(shí)
,即
解得,則此時(shí)點(diǎn)
綜上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為或;
②當(dāng)△ACD是以AC為斜邊的直角三角形時(shí)
,即
整理得
解得或
故當(dāng)△ACD是銳角三角形時(shí),點(diǎn)D縱坐標(biāo)的取值范圍是或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】移動(dòng)通信公司建設(shè)的鋼架信號(hào)塔(如圖1),它的一個(gè)側(cè)面的示意圖(如圖2).CD是等腰三角形ABC底邊上的高,分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B作兩腰的垂線段,垂足分別為B1,A1,再過A1,B1分別作兩腰的垂線段所得的垂足為B2,A2,用同樣的作法依次得到垂足B3,A3,….若AB為3米,sinα=,則水平鋼條A2B2的長(zhǎng)度為( )
A. 米B. 2米C. 米D. 米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一輛單車放在水平的地面上,車把頭下方處與坐墊下方處在平行于地面的同一水平線上,,之間的距離約為,現(xiàn)測(cè)得,與的夾角分別為與,若點(diǎn)到地面的距離為,坐墊中軸處與點(diǎn)的距離為,求點(diǎn)到地面的距離(結(jié)果保留一位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):,,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … |
| ﹣4 | ﹣4 | 0 | … |
(1)求該拋物線的表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)E(4, y)是該拋物線上的點(diǎn),點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為點(diǎn)F,求點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】焦作市教育局為調(diào)查全市教師的運(yùn)動(dòng)情況,結(jié)合現(xiàn)今流行的“微信運(yùn)動(dòng)”,隨機(jī)調(diào)查了本市名老師某日“微信運(yùn)動(dòng)”中的步數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理,繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表:
步數(shù) | 頻數(shù) | 頻率 |
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)寫出的值,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)本市約有名教師,結(jié)合調(diào)查的數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過步(包含步)的教師有多少名?
(3)若在被調(diào)查的教師中,選取日行走步數(shù)超過步(包含步)的兩名教師與大家分享心得,求被選取的兩名教師恰好都在步(包含步)以上的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解:如圖1,在△ABC中,當(dāng)DE∥BC時(shí)可以得到三組成比例線段:① ;② ;③ .反之,當(dāng)對(duì)應(yīng)線段程比例時(shí)也可以推出DE∥BC.
理解運(yùn)用:三角形的內(nèi)接四邊形是指頂點(diǎn)在三角形各邊上的四邊形.
(1)如圖2,已知矩形DEFG是△ABC的一個(gè)內(nèi)接矩形,將矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH,其中頂點(diǎn)D、E、F、G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P、B、Q、H,在圖2中畫出平移后的圖形;
(2)在(1)所得的圖形中,連接CH并延長(zhǎng)交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,連接AR.求證:AR∥BC;
(3)如圖3,某小區(qū)有一塊三角形空地,已知△ABC空地的邊AB=400米,BC=600米,∠ABC=45°;準(zhǔn)備在△ABC內(nèi)建一個(gè)內(nèi)接矩形廣場(chǎng)DEFG(點(diǎn)E、F在邊BC上,點(diǎn)D、G分別在邊AB和AC上),三角形其余部分進(jìn)行植被綠化,按要求欲使矩形DEFG的對(duì)角線EG最短,請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出使對(duì)角線EG最短的矩形.并求出對(duì)角線EG的最短距離(不要求證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知銳角∠AOB如圖,(1)在射線OA上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)O為圓心,OC長(zhǎng)為半徑作,交射線OB于點(diǎn)D,連接CD;
(2)分別以點(diǎn)C,D為圓心,CD長(zhǎng)為半徑作弧,交于點(diǎn)M,N;
(3)連接OM,MN.
根據(jù)以上作圖過程及所作圖形,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A. ∠COM=∠CODB. 若OM=MN,則∠AOB=20°
C. MN∥CDD. MN=3CD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知邊長(zhǎng)為4的正方形鋼板有一個(gè)角銹蝕,其中AF=2,BF=1,為了合理利用這塊鋼板.將在五邊形EABCD內(nèi)截取一個(gè)矩形塊MDNP,使點(diǎn)P在AB上,且要求面積最大,求鋼板的最大利用率.
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