Question

（2013•鄂州）在平面直角坐標(biāo)系中，已知M₁（3，2），N₁（5，-1），線(xiàn)段M₁N₁平移至線(xiàn)段MN處（注：M₁與M，N₁與N分別為對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．
（1）若M（-2，5），請(qǐng)直接寫(xiě)出N點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）在（1）問(wèn)的條件下，點(diǎn)N在拋物線(xiàn)y=

1

6

x2+

2 3

3

x+k上，求該拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．
（3）在（2）問(wèn)條件下，若拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)E為線(xiàn)段AB中點(diǎn)，點(diǎn)C（0，m）是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段EC與線(xiàn)段BO相交于F，且OC：OF=2：

3

，求m的值．
（4）在（3）問(wèn)條件下，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)（即BP長(zhǎng)為多少），將△ABP沿邊PE折疊，△APE與△PBE重疊部分的面積恰好為此時(shí)的△ABP面積的

1

4

，求此時(shí)BP的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)點(diǎn)M的移動(dòng)方向和單位得到點(diǎn)N的平移方向和單位，然后按照平移方向和單位進(jìn)行移動(dòng)即可；
（2）將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式即可求得k值；
（3）配方后確定點(diǎn)B、A、E的坐標(biāo)，根據(jù)CO：OF=2：

3

用m表示出線(xiàn)段CO、FO和BF的長(zhǎng)，利用S_△BEC=S_△EBF+S_△BFC=

1

2

S△ABC得到有關(guān)m的方程求得m的值即可；
（4）分當(dāng)∠BPE＞∠APE時(shí)、當(dāng)∠BPE=∠APE時(shí)、當(dāng)∠BPE＜∠APE時(shí)三種情況分類(lèi)討論即可．

解答：解：（1）由于圖形平移過(guò)程中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的平移規(guī)律相同，
由點(diǎn)M到點(diǎn)M′可知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)減5，縱坐標(biāo)加3，
故點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（5-5，-1+3），即（0，2）．
N（0，2）；

（2）∵N（0，2）在拋物線(xiàn)y=

1

6

x²+

2

3

3

x+k上
∴k=2
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=

1

6

x²+

2

3

3

x+2     

（3）∵y=

1

6

x²+

2

3

3

x+2=

1

6

（x+2

3

）²
∴B（-2

3

，0）、A（0，2）、E（-

3

，1）
∵CO：OF=2：

3

∴CO=-m，F(xiàn)O=-

3

2

m，BF=2

3

+

3

2

m
∵S_△BEC=S_△EBF+S_△BFC=

1

2

S△ABC
∴

1

2

（2

3

+

3

2

m）（-m+1）=

1

2

×

1

2

×2

3

(2-m)
整理得：m²+m=0
∴m=-1或0                        
∵m＜0
∴m=-1                   

（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO=

AO

BO

=

2

2 3

=

3

3

∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①當(dāng)∠BPE＞∠APE時(shí)，連接A₁B則對(duì)折后如圖2，A₁為對(duì)折后A的所落點(diǎn)，△EHP是重疊部分．
∵E為AB中點(diǎn)，∴S_△AEP=S_△BEP=

1

2

S_△ABP
∵S_△EHP=

1

4

S_△ABP
∴S△A1HE=S_△EHP=S_△BHP=

1

4

S_△ABP
∴A₁H=HP，EH=HB=1
∴四邊形A₁BPE為平行四邊形
∴BP=A₁E=AE=2
即BP=2                                                     
②當(dāng)∠BPE=∠APE時(shí)，重疊部分面積為△ABP面積的一半，不符合題意；
③當(dāng)∠BPE＜∠APE時(shí)．
則對(duì)折后如圖3，A₁為對(duì)折后A的所落點(diǎn)．△EHP是重疊部分
∵E為AB中點(diǎn)，
∴S_△AEP=S_△BEP=

1

2

S_△ABP
∵S_△EHP=

1

4

S_△ABP∴S_△EBH=S_△EHP=S△A1HP₌

1

4

S_△ABP
∴BH=HP，EH=HA₁=1
又∵BE=EA=2
∴EH

∥

.

1

2

AP，
∴AP=2
在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．
∴∠APB=90°，
∴BP=2

3

，
綜合①②③知：BP=2或2

3

；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了點(diǎn)的平移、二次函數(shù)解析式的確定，圖形折疊問(wèn)題及圖形面積等重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．