【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+5x+2019,有一組平行直線與該函數(shù)的相交情況如下:
y1=2x+1與之交于A1(x1,y1)、B1(α1,β1),
y2=2x+2與之交于A2(x2,y2)、B1(α2,β2),
y3=2x+3與之交于A1(x3,y3)、B1(α3,β3),
……
yn=2x+n與之交于An(xn,yn)、Bn(αn,βn),
(1)求x1+α1與x2+α2的值;
(2)求整數(shù)n的最大值;
(3)求(x1+x1+x3+…+xn)+(α1+α2+α3+.…+αn)的值.
【答案】(1)x1+α1=3,x2+α2=3;(2)2021;(3)3n.
【解析】
(1)將二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式聯(lián)立方程,再由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解答即可;
(2)當(dāng)y=2x+n與拋物線y=﹣x2+5x+2019有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),此時(shí)n最大,利用△=0即可求解;
(3)先將所求式子轉(zhuǎn)化為(x1+a1)+(x2+α2)+…+(xn+αn),再結(jié)合(1)題的結(jié)論即可求解.
解:(1)由題意可得2x+1=﹣x2+5x+2019,即x2-3x-2018=0,
∵x1、α1是上述方程的兩個(gè)根,∴x1+α1=3;
同理2x+2=﹣x2+5x+2019,即x2-3x-2017=0,
∵x2、α2是上述方程的兩個(gè)根,∴x2+α2=3;
(2)2x+n=﹣x2+5x+2019,即x2﹣3x+n﹣2019=0,
當(dāng)△=0時(shí),可得9﹣4n+8076=0,解得:n=2021.25,
∵n為整數(shù),∴n的最大值是2021;
(3)由(1)得:x1+α1=3,x2+α2=3,…,xn+αn=3;
∴(x1+x1+x3+…+xn)+(α1+α2+α3+…+αn)=(x1+a1)+(x2+α2)+…+(xn+αn)=3n.
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【題目】四邊形ABCD中,BD是對(duì)角線,∠ABC=90°,tan∠ABD=,AB=20,BC=10,AD=13,則線段CD=__.
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【題目】歡歡放學(xué)回家看到桌上有三個(gè)禮包,是爸爸送給歡歡和姐姐的禮物,其中禮包是芭比娃娃,和禮包都是智能對(duì)話機(jī)器人.這些禮包用外表一樣的包裝盒裝著,看不到里面的禮物.
(1)歡歡隨機(jī)地從桌上取出一個(gè)禮包,取出的是芭比娃娃的概率是多少?
(2)請(qǐng)用樹狀圖或列表法表示歡歡隨機(jī)地從桌上取出兩個(gè)禮包的所有可能結(jié)果,并求取出的兩個(gè)禮包都是智能對(duì)話機(jī)器人的概率.
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【題目】如圖,AB=4,射線BM和AB互相垂直,點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E在射線BM上,BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,連接AF并延長(zhǎng)交射線BM于點(diǎn)C.設(shè)BE=x,BC=y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為( )
A.-B.-C.-D.-
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【題目】如圖,在一個(gè)與地面垂直的截面中建立直角坐標(biāo)系(橫坐標(biāo)表示地面位移,縱坐標(biāo)表示高度),一架無人機(jī)的飛行路線為y=ax2+bx+c(a≠0),在直角坐標(biāo)系中x軸上的線段AB上的某點(diǎn)起飛,途經(jīng)空中線段EF上的某點(diǎn),最后在線段CD上的某點(diǎn)降落,其中A(﹣2,0)、B(﹣1,0)、C(3,0)、D(4,0)、E(0,3)、F(0,2),則下列結(jié)論正確的有_____(填序號(hào))
(1)abc<0;
(2)從起飛到當(dāng)x≤1時(shí)無人機(jī)一直是上升的;
(3)2≤a+b+c≤4.5;
(4)最大飛行高度不超過4.
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①a+b+c=0;②b>2a;③方程ax2+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1;④當(dāng)x<1時(shí),y<0.其中正確的命題是( )
A.②③B.①③C.①②D.①③④
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【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為5,D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn),將△ADE沿DE折疊,點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處,若BF=2,則BD的長(zhǎng)是( 。
A.2B.3C.D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC內(nèi)接于⊙P,AB是⊙P的直徑,A(﹣1,0)、C(3,2),BC的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)D,點(diǎn)F是y軸上的一動(dòng)點(diǎn),連接FC并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E.
(1)求⊙P的半徑;
(2)當(dāng)∠A=∠DCF時(shí),求證:CE是⊙P的切線.
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【題目】A、B、C三人玩籃球傳球游戲,游戲規(guī)則是:第一次傳球由A將球隨機(jī)地傳給B,C兩人中的某一人,以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機(jī)地傳給其他兩人中的某一人.
(1)求兩次傳球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次傳球后,球恰在A手中的概率.
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