【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A(1,0),B(-5,0)兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在第一象限內(nèi)取一點C,作CD垂直x軸于點D,連接AC,且AD=5,CD=8,將Rt△ACD沿x軸向左平移m個單位,當點C落在拋物線上時,求m的值;
(3)在(2)的條件下,當點C第一次落在拋物線上記為點E,點P是拋物線對稱軸上一點.試探究:在拋物線上是否存在點Q,使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2-4x+5;(2)m的值為7或9;(3)Q點的坐標為(2,﹣7)或(-6,﹣7)或(-4,5).
【解析】分析:(1)由A、B的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;
(2)由題意可求得C點坐標,設平移后的點C的對應點為C′,則C′點的縱坐標為8,代入拋物線解析式可求得C′點的坐標,則可求得平移的單位,可求得m的值;
(3)由(2)可求得E點坐標,連接BE交對稱軸于點M,過E作EF⊥x軸于點F,當BE為平行四邊形的邊時,過Q作對稱軸的垂線,垂足為N,則可證得△PQN≌△BEF,可求得QN,即可求得Q到對稱軸的距離,則可求得Q點的橫坐標,代入拋物線解析式可求得Q點坐標;當BE為對角線時,由B、E的坐標可求得線段BE的中點坐標,設Q(x,y),由P點的橫坐標則可求得Q點的橫坐標,代入拋物線解析式可求得Q點的坐標.
(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A(1,0),B(-5,0)兩點,
∴,解得.
拋物線解析式為y=﹣x2-4x+5;
(2)∵AD=5,且OA=1,∴OD=6,且CD=8.∴C(6,8).
設平移后的點C的對應點為C′,則C′點的縱坐標為8.
代入拋物線解析式可得8=﹣x2-4x+5,
解得x=-1或x=-3.
∴C′點的坐標為(-1,8)或(-3,8).
∵C(6,8),∴當點C落在拋物線上時,向左平移了7或9個單位,
∴m的值為7或9;
(3)∵y=﹣x2-4x+5=﹣(x+2)2+9,
∴拋物線對稱軸為x=-2.
由(2)可知E點坐標為(-1,8).
設P(-2,t),
①當BE為平行四邊形的一邊時,連接BE交對稱軸于點M,過E作EF⊥x軸于點F,過Q作對稱軸的垂線,垂足為N,則∠BEF=∠BMP=∠QPN.
∵∠BEF=∠QNP=90°,BE=QP,
∴△EFB≌△PQN.
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4.
設Q(x,y),則QN=|x+2|,
∴|x+2|=4,解得x=2或x=-6.
當x=2或x=-6時,代入拋物線解析式可求得y=﹣7,
∴Q點坐標為(2,﹣7)或(-6,﹣7);
②當BE為對角線時,∵B(-5,0),E(-1,8),
∴線段BE的中點坐標為(-3,4),則線段PQ的中點坐標為(-3,4).
設Q(x,y),且P(-2,t),
∴x-2=-3×2,解得x=4,
把x=-4代入拋物線解析式可求得y=5.
∴Q(-4,5);
綜上可知Q點的坐標為(2,﹣7)或(-6,﹣7)或(-4,5).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知數(shù)軸上有三點A、B、C,若用AB表示A、B兩點的距離,AC表示A、C兩點的距離,且AB=AC,點A、點C對應的數(shù)是分別是a、c,且|a+40|+|c﹣20|=0.
(1)求BC的長.
(2)若點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)向左運動,速度分別為2個單位長度每秒、5個單位長度每秒,則運動了多少秒時,Q到B的距離與P到B的距離相等?
(3)若點P、Q仍然以(2)中的速度分別從A、C兩點同時出發(fā)向左運動,2秒后,動點R從A點出發(fā)向右運動,點R的速度為1個單位長度每秒,點M為線段PR的中點,點N為線段RQ的中點,點R運動了多少秒時恰好滿足MN+AQ=31;并求出此時R點所對應的數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點D,E分別是邊BC,AB上的中點,連接DE并延長至點F,使EF=2DF,連接CE、AF.
(1)證明:AF=CE;
(2)當∠B=30°時,試判斷四邊形ACEF的形狀并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,DE是⊙O的直徑,過點D作⊙O的切線AD,C是AD的中點,AE交⊙O于點B.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O半徑為1,BC=,求AE的長.
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【題目】某商店賣出一套衣服,虧損了元,其中褲子是按元賣出的,盈利了 ;上衣虧損了.求:
(1)這套衣服中褲子的進價是多少元?
(2)這套衣服中上衣是按多少元賣出的?
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【題目】已知:關(guān)于 x 的方程 2x2+kx﹣1=0.
(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若方程的一個根是﹣1,求另一個根及 k 值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,是由一些棱長為單位1的相同的小正方體組合成的簡單幾何體.
(1)圖中有 個小正方體;
(2)請在圖1右側(cè)方格中分別畫出幾何體的主視圖、左視圖;
(3)不改變(2)中所畫的主視圖和左視圖,最多還能在圖1中添加 個小正方體.
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【題目】如圖所示的運算程序中,若開始輸入的值為5,可發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為8,第二次輸出的結(jié)果為4,…,請你探索第2020次輸出的結(jié)果為( )
A.2B.1C.6D.4
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在的九個格子中填入個數(shù)字, 當每行、每列及每條對角線的個數(shù)字之和都相等時,我們把這張圖稱之為九宮歸位圖:
(1)若,這個數(shù)也能構(gòu)成九宮歸位圖, 則此時每行、每列及每條對角線的個數(shù)字之和都為 ;
(2)如圖2.在這張九宮歸位圖中,只填入了個數(shù),請將剩余的個數(shù)直接填入表2中;(用含的代數(shù)式分別表示這個數(shù))
(3)如圖3,在這張九宮歸位圖中,只填入了個數(shù),請你求出右上角“”所表示的數(shù)值.
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