Question

【題目】四邊形是由等邊和頂角為120°的等腰三角形拼成，將一個60°角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，60°角兩邊分別交直線于，交直線于兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)都在線段上時，探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)在邊的延長線上時，求證：．

Answer 1

【答案】（1）BM+AN=MN，證明見解析；（2）見解析；

【解析】

（1）把△DBM繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DAQ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“邊角邊”證明△MND和△QND全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=QN，再根據(jù)AQ+AN=QN整理即可得證；
（2）把△DAN繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DN=DP，AN=BP，根據(jù)∠DAN=∠DBP=90°可知點(diǎn)P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“邊角邊”證明△MND和△MPD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=MP，從而得證；

（1）證明：∵四邊形是由等邊和頂角為120°的等腰三角形拼成，

∴∠CAD=∠CBD=60°+30°=90°

把△DBM繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DAQ，

則DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠CBD=∠QAD =90°
∴∠CAD+∠QAD =180°
∴N、A、Q三點(diǎn)共線

∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠QDN=∠MDN=60°，
∵在△MND和△QND中，

∴MN=QN，
∵QN=AQ+AN=BM+AN，
∴BM+AN=MN；

（2）MN+AN=BM．
理由如下：如圖，把△DAN繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBP，

則DN=DP，AN=BP，
∵∠DAN=∠DBP=90°，
∴點(diǎn)P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDP=∠MDN=60°，
∵在△MND和△MPD中，

∴△MND≌△MPD（SAS），
∴MN=MP，
∵BM=MP+BP，
∴MN+AN=BM；
∴MN=BM -AN；