【題目】如圖,以D為頂點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+bx+cx軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,直線BC的表達(dá)式為y=﹣x+3.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)在直線BC上有一點(diǎn)P,使PO+PA的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)P ( ,);(3)當(dāng)Q的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)時(shí),以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似.

【解析】

(1)先求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo),然后將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程,從而可求得b、c的值;(2)作點(diǎn)O關(guān)于BC的對稱點(diǎn)O′,則O′(3,3),則OP+AP的最小值為AO′的長,然后求得AO′的解析式,最后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)先求得點(diǎn)D的坐標(biāo),然后求得CD、BC、BD的長,依據(jù)勾股定理的逆定理證明BCD為直角三角形,然后分為AQC∽△DCBACQ∽△DCB兩種情況求解即可.

(1)把x=0代入y=﹣x+3,得:y=3,

C(0,3).

y=0代入y=﹣x+3得:x=3,

B(3,0),A(﹣1,0).

C(0,3)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c得: ,解得b=2,c=3.

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.

(2)如圖所示:作點(diǎn)O關(guān)于BC的對稱點(diǎn)O′,則O′(3,3).

O′O關(guān)于BC對稱,

PO=PO′.

OP+AP=O′P+AP≤AO′.

OP+AP的最小=O′A==5.

O′A的方程為y=

P點(diǎn)滿足解得:

所以P ( ,)

(3)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

D(1,4).

又∵C(0,3,B(3,0),

CD=,BC=3,DB=2

CD2+CB2=BD2,

∴∠DCB=90°.

A(﹣1,0),C(0,3),

OA=1,CO=3.

又∵∠AOC=DCB=90°,

∴△AOC∽△DCB.

∴當(dāng)Q的坐標(biāo)為(0,0)時(shí),AQC∽△DCB.

如圖所示:連接AC,過點(diǎn)CCQAC,交x軸與點(diǎn)Q.

∵△ACQ為直角三角形,COAQ,

∴△ACQ∽△AOC.

又∵△AOC∽△DCB,

∴△ACQ∽△DCB.

,即,解得:AQ=10.

Q(9,0).

綜上所述,當(dāng)Q的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)時(shí),以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與BCD相似.

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(1)求yx之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)設(shè)該護(hù)膚品的日銷售利潤為w(元),當(dāng)銷售單價(jià)x為多少時(shí),日銷售利潤w最大,最大日銷售利潤是多少?

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1)同學(xué)甲的方案公平嗎?請用列表或畫樹狀圖的方法說明;

2)你若認(rèn)為這個(gè)方案不公平,那么請你改變一下規(guī)則,設(shè)計(jì)一個(gè)公平的方案.

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