Question

如果一條直線(xiàn)把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線(xiàn)稱(chēng)為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線(xiàn)．如：平行四邊形的一條對(duì)線(xiàn)所在的直線(xiàn)就是平行四邊形的一條面積等分線(xiàn)．

（1）三角形的中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)分別所在的直線(xiàn)一定是三角形的面積等分線(xiàn)的有___；

（2）如圖1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長(zhǎng)DC到E，使CE＝AB，連接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過(guò)點(diǎn)A作出梯形ABCD的面積等分線(xiàn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

（3）如圖，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC＞S△ABC，過(guò)點(diǎn)A能否作出四邊形ABCD的面積等分線(xiàn)？若能，請(qǐng)畫(huà)出面積等分線(xiàn)，并給出證明；若不能，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

 

（1）略

（2）略

（3）能

解析:（1）中線(xiàn)所在的直線(xiàn)．

（2）法一：連接BE，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABEC為平行四邊形．∴BE∥AC，

∴△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC ．

∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED ．

       

法二：設(shè)AE與BC相交于點(diǎn)F．∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠ECF，∠BAF＝∠CEF．

又∵AB＝CE，∴△ABF≌△ECF．∴S梯形ABCD＝S四邊形AFCD＋S△ABF＝S四邊形AFCD＋S△ECF＝S△AED ．

過(guò)點(diǎn)A的梯形ABCD的面積等分線(xiàn)的畫(huà)法如圖①所示．

（3）能．連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接AE．

∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC ．

∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED ．

∵S△ACD＞S△ABC ，∴面積等分線(xiàn)必與CD相交，取DE中點(diǎn)F，則直線(xiàn)AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線(xiàn)．作圖如圖②所示．