如圖1,已知直線y=-
1
2
x與拋物線y=-
1
4
x2+6交于A,B兩點.
(1)求A,B兩點的坐標;
(2)求線段AB的垂直平分線的解析式;
(3)如圖2,取與線段AB等長的一根橡皮筋,端點分別固定在A,B兩處.用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動,動點P將與A,B構(gòu)成無數(shù)個三角形,這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形?如果存在,求出最大面積,并指出此時P點的坐標;如果不存在,請簡要說明理由.
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分析:(1)聯(lián)立兩函數(shù)的解析式即可求出A、B點的坐標.
(2)可作AB的垂直平分線設(shè)其與x軸,y軸的交點分別為C、D,與AB的交點為M,可根據(jù)△BEO∽△OCM求出OC的長,同理可求出OD的長,即可得出C、D的坐標,用待定系數(shù)法即可求出AB垂直平分線的解析式.(另一種解法,可根據(jù)A、B的坐標得出AB中點的坐標,先求出直線AB的解析式,由于AB的垂直平分線與AB垂直,因此它的斜率與AB的斜率的乘積為-1,由此可得出所求直線的斜率,然后將中點坐標代入即可求出其解析式.)
(3)要使三角形ABP的面積最大,那么P到AB的距離就最大,因此P點必在與直線AB平行且與拋物線只有一個交點的一次函數(shù)上(設(shè)此直線與x軸,y軸的交點為G、H),據(jù)此可求出此直線的解析式和P點的坐標.然后可通過在三角形OHG中,根據(jù)面積的不同表示方法求出P點到AB的距離(即O到GH的距離),進而可求出三角形ABP的面積.
解答:解:(1)依題意得
y=-
1
4
x2+6
y=-
1
2
x

解之得
x1=6
y1=-3
x2=-4
y2=2

∴A(6,-3),B(-4,2)

(2)作AB的垂直平分線交x軸,y軸于C,D兩點,交AB于M(如圖1),
由(1)可知:OA=3
5
,OB=2
5

∴AB=5
5
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1
2
AB-OB=
5
2

過B作BE⊥x軸,E為垂足
由“△BEO∽△CMO,得:
OC
OB
=
OM
OE

OC=
5
4

同理:OD=
5
2
,
∴C(
5
4
,0),D(0,-
5
2

設(shè)CD的解析式為y=kx+b(k≠0)
0=
5
4
k+b
-
5
2
=b

k=2
b=-
5
2

∴AB的垂直平分線的解析式為:y=2x-
5
2


(3)若存在點P使△APB的面積最大,則點P在與直線AB平行且和拋物線只有一個交點的直線
y=-
1
2
x+m上,并設(shè)該直線與x軸,y軸交于G,H兩點(如圖2).
y=-
1
2
x+m
y=-
1
4
x2+6

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1
4
x2-
1
2
x+m-6=0
∵拋物線與直線只有一個交點,
∴△=(-
1
2
2-4×
1
4
(m-6)=0,
∴m=
25
4
,
1
4
x2-
1
2
x+
1
4
=0,即(x-1)2=0,
解得:x=1,
將x=1代入y=-
1
2
+
25
4
得:y=
23
4
,
∴P(1,
23
4

在直線GH:y=-
1
2
x+
25
4
中,
∴G(
25
2
,0),H(0,
25
4

∴GH=
25
4
5

設(shè)O到GH的距離為d,
1
2
GH•d=
1
2
OG•OH
1
2
×
25
5
4
d=
1
2
×
25
2
×
25
4

∴d=
5
5
2

又∵由AB∥GH
∴P到AB的距離等于O到GH的距離d.
∴S最大面積=
1
2
AB•d=
1
2
×5
5
×
5
5
2
=
125
4
點評:本題主要考查二次函數(shù)、一元二次方程的根判別式及一些幾何知識,是全卷的壓軸題,綜合性很強,要求學(xué)生全面而扎實地掌握所學(xué)知識,第(3)小題很有創(chuàng)意又有一定的探索性,總之,這是一道能很好地考查學(xué)生初中三年積累的好題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖1,已知直線:y=
3
3
x+
3
與直角坐標系xOy的x軸交于點A,與y軸交于點B,點M為x軸正半軸上一點,以點M為圓心的⊙M與直線AB相切于B點,交x軸于C、D兩點,與y軸交于另一點E.
(1)求圓心M的坐標;
(2)如圖2,連接BM延長交⊙M于F,點N為
CF
上任一點,連DN交BF于Q,連FN并延長交x軸于點P.則CP與MQ有何數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,連接BM延長交⊙M于F,點N為
CF
上一動點,NH⊥x軸于H,NG⊥BF于G,連接GH,當(dāng)N點運動時,下列兩個結(jié)論:①NG+NH為定值;②GH的長度不變;其中只有一個是正確的,請你選擇正確的結(jié)論加以證明,并求出其值?精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知直線l的解析式為y=
43
x+4
,它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點.點C從點O出發(fā)沿OA以每秒1個單位的速度向點A勻速運動;點D從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動,點C、D同時出發(fā),當(dāng)點C到達點A時同時停止運動.伴隨著C、D的運動,EF始終保持垂直平分CD,垂足為E,且EF交折線AB-BO-AO于點F.
(1)直接寫出A、B兩點的坐標;
(2)設(shè)點C、D的運動時間是t秒(t>0).
①用含t的代數(shù)式分別表示線段AD和AC的長度;
②在點F運動的過程中,四邊形BDEF能否成為直角梯形?若能,求t的值;若不能,請說明理由.(可利用備用圖解題)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知直線y=kx與拋物線y=-
4
27
x2+
22
3
交于點A(3,6).
(1)求k的值;
(2)點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點,過點P作直線PM,交x軸于點M(點M、O不重合),交直線OA于點Q,再過點Q作直線PM的垂線,交y軸于點N.試探究:線段QM與線段QN的長度之比是否為定值?如果是,求出這個定值;如果不是,說明理由;
(3)如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點,點E在線段OA上(與點O、A不重合),點D(m,0)是x軸正半軸上的動點,且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD.繼續(xù)探究:m在什么范圍時,符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

根據(jù)題意,解答問題:

(1)如圖1,已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點,求線段AB的長.
(2)如圖2,類比(1)的解題過程,請你通過構(gòu)造直角三角形的方法,求出點M(3,4)與點N(-2,-1)之間的距離.
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,若有一點D在x軸上運動,當(dāng)滿足DM=DN時,請求出此時點D的坐標.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

完成下面證明:

(1)如圖1,已知直線b∥c,a⊥c,求證:a⊥b
證明:∵a⊥c  (已知)
∴∠1=
∠2
∠2
(垂直定義)
∵b∥c (已知)
∴∠1=∠2  (
兩直線平行,同位角相等
兩直線平行,同位角相等

∴∠2=∠1=90° (
等量代換
等量代換

∴a⊥b      (
垂直的定義
垂直的定義

(2)如圖2:AB∥CD,∠B+∠D=180°,求證:CB∥DE
證明:∵AB∥CD (已知)
∴∠B=
∠C
∠C
兩直線平行,內(nèi)錯角相等
兩直線平行,內(nèi)錯角相等

∵∠B+∠D=180° (已知)
∴∠C+∠D=180° (
等量代換
等量代換

∴CB∥DE   (
同旁內(nèi)角互補,兩直線平行
同旁內(nèi)角互補,兩直線平行

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同步練習(xí)冊答案