如圖,在平行四邊形ABCD中,AC、BD交于點O,∠ABC=60°,AB=1,E、F分別是線段精英家教網(wǎng)BO、DO上不與點O重合的點,且BE=DF.
(1)探究:當BC的長為多少時,四邊形AECF是菱形?并說明理由.
(2)當四邊形AECF是正方形時,求DF的長.
分析:(1)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出OE=OF,得到平行四邊形AECF,根據(jù)菱形的性質(zhì)推出AC⊥BD即可;
(2)根據(jù)含30度角的之間三角形性質(zhì)和勾股定理求出OE、OF,OA、OC,BD,即可求出答案.
解答:解:(1)當BC=1時,四邊形AECF是菱形.理由如下:
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,
∴OB-BE=OD-DF,
即OE=OF,
∴四邊形AECF是平行四邊形,
當BC=AB=1時,平行四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
即AC⊥EF,∴平行四邊形AECF是菱形.

(2)由于正方形是特殊的菱形,由(1)知,此時四邊形ABCD和AECF均為菱形.
∵∠ABC=60°,AB=1,AC⊥BD,
∴△ADC和△ABC均為等邊三角形,且AO=CO=
1
2
,BO=DO=
3
2
,
當四邊形AECF是正方形時,EO=FO=AO=CO=
1
2
,
∴DF=DO-FO=
3
2
-
1
2
=
3
-1
2
,
答:DF長是
3
-1 
2
點評:本題主要考查對正方形的性質(zhì),菱形的判定,平行四邊形的性質(zhì)和判定,勾股定理,含30度角的之間三角形等知識點的理解和掌握,綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵.
練習冊系列答案
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17、如圖,在平行四邊形ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,EF、GH相交于點O,則圖中共有
9
個平行四邊形.

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(2)當x為何值時,PF⊥AD?

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2
,AO=
3
,OB=
5
,則下列結(jié)論中不正確的是( 。
A、AC⊥BD
B、四邊形ABCD是菱形
C、△ABO≌△CBO
D、AC=BD

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(2013•同安區(qū)一模)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,則AD的長為
4cm
4cm

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