Question

已知△ABC的兩邊AB、AC的長度是關于x的一元二次方程x²-（2k+2）x+k²+2k=0的兩個根，第三邊長為10，問k為何值時，△ABC是等腰三角形？并求出這個等腰三角形的周長．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)根與系數(shù)的關系得出可推出，分情況討論，①若AB=AC，通過解方程組推出1=0（不成立），所以AB≠AC；②若AB=BC=10，通過解方程組推出，即可推出，③AC=BC=10，然后根據(jù)所求的結果即可推出結論．
解答：解：∵△ABC的兩邊AB、AC的長度是關于x的一元二次方程x²-（2k+2）x+k²+2k=0的兩個根，
則AB+AC=2k+2，AC×AB=k²+2k，
分為三種情況：
①若AB=AC時，則2AB=2k+2，AB²=k²+2k，
AB=k+1，
代入得：（k+1）²=k²+2k，
此方程無解，即AB≠AC；
②若AB=BC=10，則10+AC=2k+2，10AC=k²+2k，
即AC=2k+2-10，
代入得：10（2k+2-10）=k²+2k，
解得：k₁=10，k₂=8，
∴AC=12或8，
③若AC=BC=10時，與②同法求出k=10或8，
∴當AC=12，AB=10，BC=10時，△ABC的周長=12+10+10=32，
∴當AC=8，AB=10，BC=10時，△ABC的周長=10+10+8=28，
∴當k=10或k=8時，△ABC為等腰三角形，△ABC的周長為32或28．
點評：本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，解二元一次方程組，關鍵在于根據(jù)相關的性質求出方程組，然后正確的分情況討論，認真的進行計算．