Question

如圖①，△ABC的角平分線(xiàn)BD、CE相交于點(diǎn)P. 

   （1）如果∠A=70°，求∠BPC的度數(shù)；

   （2）如圖②，過(guò)P點(diǎn)作直線(xiàn)MN∥BC，分別交AB和AC于點(diǎn)M和N，試求

       ∠MPB+∠NPC的度數(shù)（用含∠A的代數(shù)式表示）；

（3）在（2）的條件下，將直線(xiàn)MN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn).

        （i）當(dāng)直線(xiàn)MN與AB、AC的交點(diǎn)仍分別在線(xiàn)段AB和AC上時(shí)，如圖③，

試探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由；

       （ii）當(dāng)直線(xiàn)MN與AB的交點(diǎn)仍在線(xiàn)段AB上，而與AC的交點(diǎn)在AC的

            延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖④，試問(wèn)（i）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之間

            的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；若不成立，請(qǐng)

            給出∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由.           

Answer 1

（1）125°（3分）；（2）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)求解或先說(shuō)明∠BPC=90°+∠A，∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A（3分）；（3）（每小題4分）（i）∠MPB+∠NPC= 90°-∠A（2分）.理由：先說(shuō)明∠BPC=90°+∠A，則∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A（2分）；（ii）不成立（1分），∠MPB-∠NPC=90°-∠A（1分）.理由：由圖可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，由（i）知：∠BPC=90°+∠A，∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A（2分）.