【題目】如圖,已知拋物線y=ax2-5ax+2(a≠0)與y軸交于點C,與x軸交于點A(1,0)和點B.

(1)求拋物線的解析式;

(2)求直線BC的解析式;

(3)若點N是拋物線上的動點,過點N作NH⊥x軸,垂足為H,以B,N,H為頂點的三角形是否能夠與△OBC相似(排除全等的情況)?若能,請求出所有符合條件的點N的坐標(biāo);若不能,請說明理由.

【答案】(1)y=x2-x+2;(2)直線BC的解析式y(tǒng)=-x+2;(3)N點的坐標(biāo)為(5,2)、(2,-1)或(-3,14).

【解析】

試題分析:(1)把點A坐標(biāo)代入拋物線y=ax2-5ax+2(a≠0)求得拋物線的解析式即可;

(2)求出拋物線的對稱軸,再求得點B、C坐標(biāo),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,再把B、C兩點坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=kx+b,求得k和b即可;

(3)設(shè)N(x,ax2-5ax+2),分兩種情況討論:①△OBC∽△HNB,②△OBC∽△HBN,根據(jù)相似,得出比例式,再分別求得點N坐標(biāo)即可.

試題解析:(1)∵點A(1,0)在拋物線y=ax2-5ax+2(a≠0)上,

∴a-5a+2=0,

∴a=,

∴拋物線的解析式為y=x2-x+2;

(2)拋物線的對稱軸為直線x=,

∴點B(4,0),C(0,2),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

∴把B、C兩點坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=kx+b,得

解得k=-,b=2,

∴直線BC的解析式y(tǒng)=-x+2;

(3)設(shè)N(x,x2-x+2),分三種情況討論:

①當(dāng)△OBC∽△HNB時,如圖1,

,

,

解得x1=5,x2=4(不合題意,舍去),

∴點N坐標(biāo)(5,2);

②當(dāng)△OBC∽△HBN時,如圖2,

,

解得x1=2,x2=4(不合題意舍去),

∴點N坐標(biāo)(2,-1);

③當(dāng)N(x,x2-x+2)在第二象限時,

H(x,0)在x軸的負(fù)半軸上,

∴BH=4-x,

∵△OBC∽△HNB,

,

,

得到x2-x-12=0

解得x1=4(舍去);x2=-3,

∴N點的坐標(biāo)為(-3,14)

綜上所述,N點的坐標(biāo)為(5,2)、(2,-1)或(-3,14),使得以點B、N、H為頂點的三角形與△OBC相似.

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