Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣ x+2與拋物線y=a （x+2）2相交于A、B兩點，點A在y軸上，M為拋物線的頂點．

（1）請直接寫出點A的坐標及該拋物線的解析式；
（2）若P為線段AB上一個動點（A、B兩端點除外），連接PM，設線段PM的長為l，點P的橫坐標為x，請求出l2與x之間的函數(shù)關系，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在點P，使以A、M、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：A的坐標是（0，2），拋物線的解析式是y= （x+2）2．

聯(lián)立直線與拋物線解析式可得B點坐標為（﹣5， ）

（2）

解：如圖，P為線段AB上任意一點，連接PM，

過點P作PD⊥x軸于點D，

設P的坐標是（x，﹣ x+2），則在Rt△PDM中，

PM2=DM2+PD2

即l2=（﹣2﹣x）2+（﹣ x+2）2= x2+2x+8，

P為線段AB上一個動點，故自變量x的取值范圍為：﹣5＜x＜0，

答：l2與x之間的函數(shù)關系是l2= x2+2x+8，自變量x的取值范圍是﹣5＜x＜0．

（3）

解：存在滿足條件的點P，

連接AM，

由題意得，AM= =2 ，

①當PM=PA時， x2+2x+8=x2+（﹣ x+2﹣2）2，

解得：x=﹣4，

此時y=﹣ ×（﹣4）+2=4，

∴點P1（﹣4，4）；

②當PM=AM時， x2+2x+8=（2 ）2，

解得：x1=﹣ x2=0（舍去），

此時y=﹣ ×（﹣ ）+2= ，

∴點P2（﹣ ， ），

③當PA=AM時，x2+（﹣ x+2﹣2）2=（2 ）2，

解得：x1=﹣ x2= （舍去），

此時y=﹣ ×（﹣ ）+2= ，

∴點P3（﹣ ， ），

綜上所述，滿足條件的點為：

P1（﹣4，4）、P2（﹣ ， ）、P3（﹣ ， ），

答：存在點P，使以A、M、P為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標是（﹣4，4）或（﹣ ， ）或（﹣ ， ）．

【解析】（1）把x=0代入求出A的坐標，求出直線與拋物線的交點坐標即可；（2）過點P作PD⊥x軸于點D，設P的坐標是（x，﹣ x+2），根據(jù)勾股定理求出x即可；（3）連接AM，求出AM，①當PM=PA時，根據(jù)勾股定理得到 x2+2x+8=x2+（﹣ x+2﹣2）2 ， 求出方程的解即可；同理②當PM=AM時，求出P的坐標；③當PA=AM時，求出P的坐標．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．