Question

如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P是∠AOC平分線上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合）．
（1）試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動到何處，PC總與PD相等；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B的距離最小時(shí)，試確定過O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)E是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時(shí)，△PDE的周長最�。壳蟪龃藭r(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE的周長；
（4）設(shè)點(diǎn)N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點(diǎn)P，使∠CPN=90°？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：本題綜合考查了三角形全等、一次函數(shù)、二次函數(shù)，及線段最短和探索性的問題．
（1）通過△POC≌△POD而證得PC=PD．
（2）首先要確定P點(diǎn)的位置，再求出P、F兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求的拋物線解析式；
（3）此問首先利用對稱性確定出P點(diǎn)位置是EC與∠AOC的平分線的交點(diǎn)，再利用拋物線與直線CE的解析式求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)．進(jìn)而求的△PED的周長；
（4）要使∠CPN=90°，則P點(diǎn)是以CN的中點(diǎn)為圓心以CN為直徑的圓與角平分線的交點(diǎn)，由此就易于寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，
∴OD=2，
∴OD=OC．
又∵OP是∠COD的角平分線，
∴∠POC=∠POD=45°，
∴△POC≌△POD，
∴PC=PD．

（2）過點(diǎn)B作∠AOC的平分線的垂線，垂足為P，點(diǎn)P即為所求．
易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=

1

2

BF=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）．
∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx．
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)P（3，3）和點(diǎn)D（2，0），
∴有

9a+3b=3 4a+2b=0

解得

a=1 b=-2

∴拋物線的解析式為y=x²-2x；

（3）由等腰直角三角形的對稱性知D點(diǎn)關(guān)于∠AOC的平分線的對稱點(diǎn)即為C點(diǎn)．
連接EC，它與∠AOC的平分線的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)（因?yàn)镻E+PD=EC，而兩點(diǎn)之間線段最短），此時(shí)△PED的周長最小．
∵拋物線y=x²-2x的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)（1，-1），C點(diǎn)的坐標(biāo)（0，2），
設(shè)CE所在直線的解析式為y=kx+b，
則有

k+b=-1 b=2

，
解得

k=-3 b=2

．
∴CE所在直線的解析式為y=-3x+2．
點(diǎn)P滿足

y=-3x+2 y=x

，
解得

x= 1 2 y= 1 2

，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

1

2

，

1

2

)．
△PED的周長即是CE+DE=

10

+

2

；

（4）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)．矩形的對稱中心為對角線的交點(diǎn)，故N（2，1）．
①當(dāng)P點(diǎn)在N點(diǎn)上方時(shí)，由（2）知F（2，2），且∠NFC=90°，顯然F點(diǎn)符合P點(diǎn)的要求，故P（2，2）；
②當(dāng)P點(diǎn)在N點(diǎn)下方時(shí)，設(shè)P（a，a），則：∵C（0，2），N（2，1），∴由勾股定理得，CP²+PN²=CN²，即a²+（a-2）²+（2-a）²+（1-a）²=5，即4a²-10a+4=0，解得a=

1

2

或a=2，故P（

1

2

，

1

2

），
綜上可知：存在點(diǎn)P，使∠CPN=90度．其坐標(biāo)是(

1

2

，

1

2

)或（2，2）．

點(diǎn)評：函數(shù)與四邊形或三角形的綜合考查，是近幾年中考的一個(gè)熱點(diǎn)問題．對于這類問題，通常需要學(xué)生熟悉掌握多邊形與函數(shù)的概念與性質(zhì)及兩者之間的聯(lián)系．