Question

在下圖①，②，③，④中，四邊形ABCD是正方形，直線A′C′，B′D′互相垂直于O，A′C′分別與直線AB，CD交于A′，C′，B′D′分別與直線BC，AD交于B′，D′．

（1）在圖③中，線段A′C′與B′D′相等嗎？請證明．
（2）在圖①，②，④中，線段A′C′與B′D′之間的數(shù)量關(guān)系與（1）相同嗎？若有不相同的情況，請指出并說明其理由；若相同，那就從圖②，④中選一個為例給予證明．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠ABD=∠ADB=45°，求出∠A′=45°=∠ABD，根據(jù)等腰三角形的判定推出即可；
（2）求出∠A′=∠ABD，推出A′O=BO，求出∠ODC′=∠OCD，推出DO=OC′，相加即可．

解答：（1）A′C′=B′D′，
證明：在圖③中，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，∠DBA=∠ADB=45°，AD=AB，
∵A′D⊥BD，
∴∠A′DB=90°，
∴∠A′=∠A′DA=45°，
∴∠A′=∠ABD，
∴A′D=BD，
即A′C′=B′D′．

（2）證明：如圖②，
∵由（1）知：∠DAB=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=∠BDC=45°，
∵A′C′⊥B′D′，
∴∠A′OB′=90°，
∴∠A′=45°，
∴∠A′=∠ABD，
∴A′O=BO，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠DC′O=∠A′=45°=∠BDC，
∴DO=CO，
∵BO=A′O，
∴A′C′=B′D′．

點評：本題考查了正方形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：正方形的四個角都是直角，正方形對角線平分一組對角．