Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把矩形AOCB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形ADEF，設(shè)AD與BC相交于點(diǎn)G，且A（-9，0），C（0，6），如圖甲．
（1）當(dāng)α=60°時(shí)，請(qǐng)猜測(cè)△ABF的形狀，并對(duì)你的猜測(cè)加以證明．
（2）當(dāng)GA=GC時(shí)，求直線AD的解析式．
（3）當(dāng)α=90°時(shí)，如圖乙．請(qǐng)?zhí)骄浚航?jīng)過(guò)點(diǎn)F，且以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的拋物線，是否經(jīng)過(guò)矩形ADEF的對(duì)稱(chēng)中心H，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)可得AB=AF，根據(jù)∠BAF=60°可得∴△ABF為等邊三角形；
（2）利用△AGB為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得CG的長(zhǎng)，也求得了G的坐標(biāo)，利用點(diǎn)A、G的坐標(biāo)可得所求的直線解析式；
（3）易得F坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，且以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的拋物線，易得H的坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入所得函數(shù)解析式，看是否等于縱坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）矩形ADEF是矩形AOCB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α=60°角而得，
∴AF=AB．
又∵∠FAB+∠BAG=∠α+∠BAG=90°，
即∠FAB=∠α=60°．
∴△ABF為等邊三角形．

（2）設(shè)CG=x，則BG=9-x，而AB=OC=6，GA=GC．
∴在Rt△AGB中，（9-x）²+6²=x²．
解之得x=

13

2

．
∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（-

13

2

，6）．
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
∵AD經(jīng)過(guò)A（-9，0），G（-

13

2

，6），
∴

-9k+b=0 - 13 2 k+b=6

，
解之得

k= 12 5 b= 108 5

．
∴所求直線AD的解析式為：y=

12

5

x+

108

5

．

（3）據(jù)題意，∵拋物線頂點(diǎn)B（-9，6），又過(guò)點(diǎn)F（-15，0），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x+9）²+6．
∴a（-15+9）²+6=0，即a=-

1

6

．
∴拋物線的解析式為y=-

1

6

(x+9)2+6．
又∵點(diǎn)H是矩形ADEF的對(duì)稱(chēng)中心，
∴H（-12，

9

2

）．
將x=-12代入y=-

1

6

(x+9)2+6，得y=

9

2

．
∴拋物線要經(jīng)過(guò)矩形ADEF的對(duì)稱(chēng)中心H．

點(diǎn)評(píng)：綜合考查二次函數(shù)的應(yīng)用；用到的知識(shí)點(diǎn)為：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可表示為：y=a（x-h）²+k．利用勾股定理得到CG的長(zhǎng)是解決本題的突破點(diǎn)．