Question

5．如圖，拋物線y=-x²+3x+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D在拋物線上且橫坐標(biāo)為3．
（1）求A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）求∠BCD的度數(shù)；
（3）求tan∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用y=0以及x=0解方程得出答案；
（2）利用（1）中所求則OC=OB=4，故∠ABC=45°，進(jìn)而得出CD∥AB得出答案；
（3）過點D作DE⊥BC于點E，進(jìn)而求出BE，DE的長，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）令y=0，則-x²+3x+4=0，
即（x+1）（x-4）=0．
解得：x₁=-1，x₂=4．
所以A（-1，0），B（4，0），
令x=0，得y=4，所以C（0，4），
當(dāng)x=3時，y=-3²+3×3+4=4，
所以D（3，4）；

（2）∵OC=OB=4，
∴∠ABC=45°，
∵C、D的縱坐標(biāo)相同，
∴CD∥AB．
又∵OC=OB，
∴∠BCD=∠OBC=45°；

（3）過點D作DE⊥BC于點E，
在Rt△OBC中，得BC=4$\sqrt{2}$，
在Rt△CDE中，∵CD=3，
∴CE=ED=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴BE=BC-CE=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴tan∠DBC=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{3}{5}$．

點評 此題主要考查了拋物線與x軸的交點以及銳角三角函數(shù)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，正確利用數(shù)形結(jié)合求解是解題關(guān)鍵．