如圖,△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°,點(diǎn)P是底邊AC上一個動點(diǎn),M、N分別是AB、BC的中點(diǎn),若PM+PN的最小值為4,則下列各結(jié)論中,正確的結(jié)論是( 。
①△AMP和△CNP至少有一個是等邊三角形;
②△ABC的周長等于8+4
3

③△AMP和△CNP至少有一個是鈍角三角形;
④△ABC的面積等于6
3
分析:通過M關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M′,根據(jù)勾股定理就可求出MN的長,根據(jù)中位線的性質(zhì)及三角函數(shù)分別求出AB、BC、AC的長,從而得到△ABC的周長,對于選項③做出判斷;由P為等腰三角形ABC底邊的中點(diǎn),得到BP垂直于AC,在直角三角形ABP中,利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BP的長,利用三角形面積公式求出三角形ABC面積,即可對于選項④做出判斷,由MP為三角形ABC中位線,得到MP與BC平行,求出∠MPA的度數(shù),確定出三角形AMP為鈍角三角形,同理三角形CNP也為鈍角三角形,即可對于選項①、③做出判斷.
解答:解:作M點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)M′,連接M'N,則與AC的交點(diǎn)即是P點(diǎn)的位置,
∵M(jìn),N分別是AB,BC的中點(diǎn),
∴MN是△ABC的中位線,
∴MN∥AC,
PM′
PN
=
KM′
KM
=1,
∴PM′=PN,
即:當(dāng)PM+PN最小時P在AC的中點(diǎn),
∴MN=
1
2
AC,
∴PM=PN=2,MN=2
3
,
∴AC=4
3
,AB=BC=2PM=2PN=4,
∴△ABC的周長為:4+4+4
3
=8+4
3
,選項②正確;
若PM+PN的最小值為4時,P為AC中點(diǎn),
∵AB=BC,
∴BP⊥AC,∠A=∠C=30°,
在Rt△ABP中,AB=4,
∴BP=
1
2
AB=2,
∵AC=4
3
,
∴S△ABC=
1
2
AC•BP=4
3
,選項④錯誤;
∵M(jìn)P為△ABC的中位線,
∴MP∥BC,
∴∠MPA=∠C=30°,
∴∠AMP=120°,即△AMP為鈍角三角形,
同理△CNP為鈍角三角形,
∴△AMP和△CNP至少有一個是鈍角三角形,選項①錯誤,選項③正確,
故選C
點(diǎn)評:此題考查了軸對稱-最短線路問題,等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),中位線定理,勾股定理,以及含30度直角三角形的性質(zhì),找出PM+PN的最小值為4時P的位置是解本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜邊,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一定點(diǎn),延長BP至P′,將△ABP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后,與△ACP′重合,如果AP=
2
,那么PP′=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

22、如圖,△ABC是等腰三角形,AB=AC,D為直線BC上一點(diǎn),DE⊥AC,DF⊥AB,CH⊥AB,
(1)如圖(1)若D為BC的中點(diǎn),求證:DE+DF=CH.
(2)如圖(2)若D為BC延長線上一點(diǎn),其他條件不變,線段DE.DF.CH 之間有何數(shù)量關(guān)系,請證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BC=AC,把△ABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△AB′C′,若AB=2,則線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分(陰影部分)的面積是
 
(結(jié)果保留π).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•資陽)如圖,△ABC是等腰三角形,點(diǎn)D是底邊BC上異于BC中點(diǎn)的一個點(diǎn),∠ADE=∠DAC,DE=AC.運(yùn)用這個圖(不添加輔助線)可以說明下列哪一個命題是假命題?(  )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,△ABC是等腰直角三角形,D為斜邊AB上任意一點(diǎn)(不與A,B重合),連接CD,作EC⊥DC,且EC=DC,連接AE.
(1)求證:∠E+∠ADC=180°.
(2)猜想:當(dāng)點(diǎn)D在何位置時,四邊形AECD是正方形?說明理由.

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