Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點N是CD的中點，M是AD邊上不同于點A、D的點，若sin∠ABM=

10

10

，求證：∠NMB=∠MBC．

Answer 1

分析：可構(gòu)建等腰三角形來解答，如圖，證明△MBE是等腰三角形，關(guān)鍵是證明△MND≌△ENC，點N是CD的中點，∠MDN=∠ECN=90°，∠MND=∠ENC；設(shè)AM=1，由sin∠ABM=

10

10

，由勾股定理得BM=

10

，AB=

BM2-AM2

=3，所以，MN=

MD2+DN2

=

5

2

，CE=MD=2、NE=MN=

5

2

，所以，ME=MN+NE=BE=BC+CE=5，即可證明；

解答：證明：如圖，分別延長BC、MN相交于點E，
設(shè)AM=1，∵sin∠ABM=

10

10

，
∴

AM

BM

=

10

10

，得BM=

10

，
∴AB=

BM2-AM2

=3，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DM=AD-AM=2，且DN=CN=

1

2

DC=

3

2

，
在Rt△DMN中，MN=

MD2+DN2

=

5

2

，
又∵∠MDN=∠ECN=90°、∠MND=∠ENC，
∴△MDN≌△ECN（ASA）
∴CE=MD=2、NE=MN=

5

2

，
∴ME=MN+NE=5、BE=BC+CE=5，
∴ME=BE，
∴∠NMB=∠MBC．

點評：本題考查了正方形勾股定理的運用、全等三角形及等腰三角形的判定，本題綜合性較強，證明△MND≌△ENC，是解答本題的關(guān)鍵．