8.把兩個完全相同有一個角為30°的直角三角板重合在一起,如圖1放置,將△ABC固定,讓△DEC繞直角頂點C旋轉(zhuǎn)一定角度,設(shè)三角板的短直角邊AC的長度為1個單位.
解答下列問題:
(1)當△DEC旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,交錯連接對應(yīng)頂點得到△BDC和△AEC,寫出△BDC和△AEC的面積的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖3,若連接誒對應(yīng)頂點得到△ACD和△BCE,求證:S△BCE=3S△ACD
(3)如圖2,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α,當0°≤α≤180°時,直接寫出α為多少時,AE+BD最小,最小值是多少?

分析 (1)結(jié)論:∴△BDC的面積和△AEC的面積相等.如圖①中,作DM⊥BC于M,AN⊥EC于N,由△ACN≌△DCM(AAS),推出AN=DM,由此即可證明.
(2)只要證明△ACD∽△BCE,得$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△BCE}}$=($\frac{CD}{EC}$)2=$\frac{1}{3}$,即可證明.
(3)當旋轉(zhuǎn)角為90°時,點D在線段BC上時,AE+BD最小,最小值=2$\sqrt{3}$.

解答 (1)解:結(jié)論:∴△BDC的面積和△AEC的面積相等.如圖①中,
作DM⊥BC于M,AN⊥EC于N.

∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
在△ACN和△DCM中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠DCM}\\{∠CMD=∠N=90°}\\{AC=CD}\end{array}\right.$,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),

(2)證明:如圖③中,

∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE,
∵$\frac{BC}{AC}$=$\frac{EC}{CD}$=$\sqrt{3}$,
∴△ACD∽△BCE,
∴$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△BCE}}$=($\frac{CD}{EC}$)2=$\frac{1}{3}$,
∴S△BCE=3S△ACD

(3)當旋轉(zhuǎn)角為90°時,點D在線段BC上時,AE+BD最小,最小值=2$\sqrt{3}$.

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),三角形的面積,等邊三角形的判定與性質(zhì),直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì),熟練掌握等底等高的三角形的面積相等,以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵,學會利用特殊位置解決實際問題,屬于中考?碱}型.

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