Question

【題目】如圖1，將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD壓扁為邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小為α，面積記為S．

（1）請(qǐng)補(bǔ)全下表：

	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
S				1

（2）填空：

由（1）可以發(fā)現(xiàn)正方形在壓扁的過(guò)程中，菱形的面積隨著∠A大小的變化而變化，不妨把菱形的面積S記為S(α)．例如：當(dāng)α＝30°時(shí)，；當(dāng)α＝135°時(shí)，．由上表可以得到( ______°)；( ______°)，…，由此可以歸納出．

（3） 兩塊相同的等腰直角三角板按如圖的方式放置，AD＝，∠AOB＝α，試探究圖中兩個(gè)帶陰影的三角形面積是否相等，并說(shuō)明理由（注：可以利用（2）中的結(jié)論）．

Answer 1

【答案】（1）；；；；（2）120；30；α；（3）兩個(gè)帶陰影的三角形面積相等，證明見(jiàn)解析.

【解析】（1）過(guò)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，當(dāng)α=45°時(shí)，可求得DE，從而可求得菱形的面積S，同理可求當(dāng)α=60°時(shí)S的值，當(dāng)α=120°時(shí)，過(guò)D作DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則可求得DF，可求得S的值，同理當(dāng)α=135°時(shí)S的值；

（2）根據(jù)表中所計(jì)算出的S的值，可得出答案；

（3）將△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO，將△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD．利用（2）中的結(jié)論，可求得△AOB和△COD的面積，從而可求得結(jié)論．

（1）當(dāng)α=45°時(shí)，如圖1，過(guò)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，

則DE=AD=，

∴S=ABDE=，

同理當(dāng)α=60°時(shí)S=，

當(dāng)α=120°時(shí)，如圖2，過(guò)D作DF⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

則∠DAE=60°，

∴DF=AD=，

∴S=ABDF=，

同理當(dāng)α=150°時(shí)，可求得S=，

故表中依次填寫(xiě)：；；；；

（2）由（1）可知S（60°）=S（120°），

S（150°）=S（30°），

∴S（180°-α）=S（α）

故答案為：120；30；α；

（3）兩個(gè)帶陰影的三角形面積相等．

證明：如圖3將△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO，將△CDO沿CD翻折得到菱形OCND．

∵∠AOD=∠COB=90°，

∴∠COD+∠AOB=180°，

∴S△AOB=S菱形AMBO=S（α）

S△CDO=S菱形OCND=S（180°-α）

由（2）中結(jié)論S（α）=S（180°-α）

∴S△AOB=S△CDO．