Question

【題目】【新知理解】

如圖①，若點(diǎn)、在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)，使的值最小.

作法:作點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線l于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求.

【解決問題】

如圖②，是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形的中線，點(diǎn)、分別在、上，則的最小值為 cm;

【拓展研究】

如圖③，在四邊形的對(duì)角線上找一點(diǎn)，使.(保留作圖痕跡，并對(duì)作圖方法進(jìn)行說(shuō)明)

Answer 1

【答案】（1）；（2）作圖見解析.

【解析】試題分析：（1）作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F，連接PF，則PE=PF，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短以及垂線段最短，得出當(dāng)CF⊥AB時(shí)，PC+PE=PC+PF=CF（最短），最后根據(jù)勾股定理，求得CF的長(zhǎng)即可得出PC+PE的最小值；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行作圖．

方法1：作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)，交AC于P，連接BP，則∠APB=∠APD．

方法2：作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D'B并延長(zhǎng)與AC的交于點(diǎn)P，連接DP，則∠APB=∠APD．

試題解析：（1）【解決問題】
如圖②，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F，連接PF，則PE=PF，

當(dāng)點(diǎn)F，P，C在一條直線上時(shí)，PC+PE=PC+PF=CF（最短），
當(dāng)CF⊥AB時(shí)，CF最短，此時(shí)BF=AB=3（cm），
∴Rt△BCF中，CF=（cm），
∴PC+PE的最小值為3cm；
（2）【拓展研究】
方法1：如圖③，作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)，交AC于P，點(diǎn)P即為所求，連接BP，則∠APB=∠APD．

方法2：如圖④，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D'B并延長(zhǎng)與AC的交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，連接DP，則∠APB=∠APD．