Question

如圖，已知直線l₁∥l₂，直線l₃和直線l₁、l₂交于點(diǎn)C和D，在直線CD上有一點(diǎn)P．

（1）如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？

Answer 1

∠APB＝∠PAC+∠PBD；∠APB＝∠PAC+∠PBD

試題分析：（1）若P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有∠APB＝∠PAC+∠PBD.
理由是：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₁，則∠APE＝∠PAC，
又因?yàn)閘₁∥l₂，所以PE∥l₂，所以∠BPE＝∠PBD，
所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.

（2）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），則有兩種情形：
①如圖1，有結(jié)論：∠APB＝∠PBD－∠PAC.

理由是：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₁，則∠APE＝∠PAC，
又因?yàn)閘₁∥l₂，所以PE∥l₂，所以∠BPE＝∠PBD，
所以∠APB＝∠BAE+∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.　　　　　　   4分
②如圖2，有結(jié)論：∠APB＝∠PAC－∠PBD.

理由是：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₂，則∠BPE＝∠PBD，
又因?yàn)閘₁∥l₂，所以PE∥l₁，所以∠APE＝∠PAC，
所以∠APB＝∠APE+∠BPE，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.　　
點(diǎn)評(píng)：本題屬于對(duì)角度變換的基本知識(shí)的理解和運(yùn)用