Question

數(shù)碼不相同的兩位數(shù)，將其數(shù)碼順序交換后，得到一個(gè)新的兩位數(shù)，這兩個(gè)兩位數(shù)的平方差是完全平方數(shù)，求所有這樣的兩位數(shù)．

Answer 1

分析：設(shè)十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，這個(gè)兩位數(shù)就為10a+b，交換位置后為10b+a，（10a+b）²-（10b+a）²=99（a+b）（a-b），因而a+b是11的倍數(shù)即a+b=11k，且（a-b）k是完全平方數(shù)，由此討論得到解．

解答：解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，
（10a+b）²-（10b+a）²=99（a+b）（a-b），
因?yàn)閍、b是不同的數(shù)字，
由此得出a+b是11的倍數(shù)，即a+b=11k，由a≤9，b≤9，即a+b≤18，所以k=1，a+b=11，
（a-b）k是完全平方數(shù)，因此（a-b）可以為0，1，4，于是得到，

a+b=11 a-b=1

，

a+b=11 a-b=4

，

a+b=11 a-b=0

，
只有一組解符合要求，解得

a=6 b=5

，
因此這兩位數(shù)有56，65共兩個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的了完全平方數(shù)與整數(shù)的十進(jìn)制表示法，關(guān)鍵是設(shè)出這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是a，個(gè)位數(shù)字是b，然后根據(jù)題意列方程求解．