Question

如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如圖②)．

(1)探究DB′與EC′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
(2)當(dāng)DB′∥AE時，試求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

Answer 1

（1）DB′＝EC′，見解析   （2）60°

解：(1)DB′＝EC′.理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，
∴AD＝AE＝AB，∵△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′，
∴∠B′AD＝∠C′AE＝a，AB′＝AB，AC′＝AC，∴AB′＝AC′，
在△B′AD和C′AE中，
∵ ∴≌
∴DB′＝EC′；
(2)∵DB′∥AE，∴∠B′DA＝∠DAE＝90°，
在Rt△B′DA中，
∵AD＝AB＝AB′，
∴∠AB′D＝30°，∴∠B′AD＝90°－30°＝60°，
即旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°.