如圖,把Rt△ACB與Rt△DCE按圖(甲)所示重疊在一起,其中AC=2,∠BAC=60°,若把Rt△DCE繞直角頂點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°,使得AB分別與DC,DE相交于點(diǎn)F、G,CB與DE相交于點(diǎn)M,如圖(乙)所示.
(1)求CM的長(zhǎng);
(2)求△ACB與△DCE的重疊部分(即四邊形CMGF)的面積(保留根號(hào));
(3)將△DCE按順時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)45°,得△D1CE1,這時(shí),點(diǎn)D1在△ACB的內(nèi)部,外部,還是邊上?證明你的判斷.

【答案】分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度求出∠DCM=60°,然后判定△DCM是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等解答即可;
(2)先求出∠AFC=90°,然后解直角三角形求出CF的長(zhǎng)度,再求出DF的長(zhǎng)度,在Rt△DFG中求出FG,然后根據(jù)S四邊形CMGF=S△DCM-S△DFG,列式進(jìn)行計(jì)算即可得解;
(3)設(shè)直線CD與直線AB相交于點(diǎn)N,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度為45°可得△CDN是等腰直角三角形,再解直角三角形求出CN的長(zhǎng)度,然后與邊長(zhǎng)2進(jìn)行比較即可得解.
解答:解:(1)∵旋轉(zhuǎn)角度為30°,即∠ACD=30°,
∴∠DCM=90°-30°=60°,
∴∠D=∠DCM=60°,
∴△DCM為正三角形,
∴CM=CD=2;

(2)在△ACF中,∠AFC=180°-∠BAC-∠ACD=180°-60°-30°=90°,
∵AC=2,
∴CF=AC•sin60°=2×=,
DF=CD-CF=2-
在Rt△DFG中,F(xiàn)G=DF•tan60°=(2-,
由圖可知S四邊形CMGF=S△DCM-S△DFG,
=×2×(2×)-×(2-)×(2-,
=-(7-12),
=6-

(3)點(diǎn)D1在△ACB的內(nèi)部.
理由如下:如圖,設(shè)直線CD與直線AB相交于點(diǎn)N,
∵△DCE按順時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)45°,
∴∠FCN=45°,
在Rt△FCN中,CN=CF÷cos∠FCN=÷=,
>2,
∴點(diǎn)D1在△ACB的內(nèi)部.
點(diǎn)評(píng):本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),以及解直角三角形,(2)中利用兩個(gè)三角形的面積表示不規(guī)則四邊形的面積是解題的關(guān)鍵.
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如圖,把Rt△ACB與Rt△DCE按圖(甲)所示重疊在一起,其中AC=2,∠BAC=60°,若把Rt△DCE繞直角頂點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°,使得AB分別與DC,DE相交于點(diǎn)F、G,CB與DE相交于點(diǎn)M,如圖(乙)所示.
(1)求CM的長(zhǎng);
(2)求△ACB與△DCE的重疊部分(即四邊形CMGF)的面積(保留根號(hào));
(3)將△DCE按順時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)45°,得△D1CE1,這時(shí),點(diǎn)D1在△ACB的內(nèi)部,外部,還是邊上?證明你的判斷.

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(1)求CM的長(zhǎng);
(2)求△ACB與△DCE的重疊部分(即四邊形CMGF)的面積(保留根號(hào));
(3)將△DCE按順時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)45°,得△D1CE1,這時(shí),點(diǎn)D1在△ACB的內(nèi)部,外部,還是邊上?證明你的判斷.

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(1)求CM的長(zhǎng);
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