Question

7．如圖，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B．拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第三象限內、F為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為4，求點F的坐標；
（3）連接B、C，點P是線段，AB上一點，作PQ平行于x軸交線段BC于點Q，過P作PM⊥x軸于M，過Q作QN⊥x軸于N，求矩形PQNM面積的最大值和P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求出A、B點的坐標，將其代入拋物線中，即可求出拋物線解析式；
（2）由直線解析式和拋物線對稱軸解析式可求出交點E的坐標，可隨之求出AE的長度，過點F作FG⊥直線AB于點G，作FH⊥x軸交直線AB于點H，則△GHF為等腰直角三角形，設F點坐標為（m，-m²-2m+3），則點H（m，m+3），由此可得出FG的長度，再根據(jù)三角形的面積公式結合S_△AFE=4即可得出關于m的一元二次方程，解之取其負值即可得出m值，將其代入點F的坐標中即可；
（3）設出P點的坐標，用未知數(shù)n表示出Q的坐標，由矩形的面積公式可得出含n的代數(shù)式，利用解極值問題即可得出矩形PQNM面積的最大值和P點的坐標．

解答 解：（1）直線y=x+3與x、y軸的交點分別為A（-3，0）、B（0，3），
將A、B坐標代入拋物線解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=-9-3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
（2）∵拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的對稱軸為x=-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=x+3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即點E坐標為（-1，2），
∴AE=2$\sqrt{2}$．
過點F作FG⊥直線AB于點G，作FH⊥x軸交直線AB于點H，則△GHF為等腰直角三角形，如圖1所示．
設F點坐標為（m，-m²-2m+3），則點H（m，m+3），
∴FH=m+3-（-m²-2m+3）=m²+3m，GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m²+3m），
∴S_△AFE=$\frac{1}{2}$AE•GF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m²+3m）=4，
解得：m₁=-4，m₂=1．
∵點F在第三象限，
∴m＜0，
即m=-4，此時點F的坐標為（-4，-5）．
（3）依照題意畫出圖形，如圖2所示，
令y=-（x+1）²+4=0，解得x=1，x=-3，
∴點C坐標為（1，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
即直線BC的解析式為y=-3x+3．
設P點坐標為（n，n+3）（其中-3＜n＜0），則Q點坐標為（-$\frac{n}{3}$，n+3），M點坐標為（n，0），N點坐標為（-$\frac{n}{3}$，0）．
∴PM=n+3，PQ=-$\frac{n}{3}$-n=-$\frac{4}{3}$n，
矩形PMNQ的面積=PM×PQ=（n+3）×（-$\frac{4}{3}$n）=-$\frac{4}{3}$（n²+3n）=-$\frac{4}{3}$${（n+\frac{3}{2}）}^{2}$+3．
故當n=-$\frac{3}{2}$時，矩形PMNQ的面積最大，最大面積為3．
此時P點坐標為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，解題的關鍵：（1）由直線解析式求出A、B兩點坐標，再代入拋物線解析式即可；（2）利用三角形的面積公式結合S_△AFE=4找出關于m的一元二次方程；（3）設出P點坐標，利用含n的代數(shù)式表示出矩形面積，由求極值的方法解決問題．