Question

7．如圖，已知直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)C，對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第三象限內(nèi)、F為拋物線上一點(diǎn)，以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形面積為4，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）連接B、C，點(diǎn)P是線段，AB上一點(diǎn)，作PQ平行于x軸交線段BC于點(diǎn)Q，過P作PM⊥x軸于M，過Q作QN⊥x軸于N，求矩形PQNM面積的最大值和P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線中，即可求出拋物線解析式；
（2）由直線解析式和拋物線對(duì)稱軸解析式可求出交點(diǎn)E的坐標(biāo)，可隨之求出AE的長(zhǎng)度，過點(diǎn)F作FG⊥直線AB于點(diǎn)G，作FH⊥x軸交直線AB于點(diǎn)H，則△GHF為等腰直角三角形，設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m²-2m+3），則點(diǎn)H（m，m+3），由此可得出FG的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合S_△AFE=4即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其負(fù)值即可得出m值，將其代入點(diǎn)F的坐標(biāo)中即可；
（3）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，用未知數(shù)n表示出Q的坐標(biāo)，由矩形的面積公式可得出含n的代數(shù)式，利用解極值問題即可得出矩形PQNM面積的最大值和P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）直線y=x+3與x、y軸的交點(diǎn)分別為A（-3，0）、B（0，3），
將A、B坐標(biāo)代入拋物線解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=-9-3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
（2）∵拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=x+3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即點(diǎn)E坐標(biāo)為（-1，2），
∴AE=2$\sqrt{2}$．
過點(diǎn)F作FG⊥直線AB于點(diǎn)G，作FH⊥x軸交直線AB于點(diǎn)H，則△GHF為等腰直角三角形，如圖1所示．
設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m²-2m+3），則點(diǎn)H（m，m+3），
∴FH=m+3-（-m²-2m+3）=m²+3m，GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m²+3m），
∴S_△AFE=$\frac{1}{2}$AE•GF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m²+3m）=4，
解得：m₁=-4，m₂=1．
∵點(diǎn)F在第三象限，
∴m＜0，
即m=-4，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-4，-5）．
（3）依照題意畫出圖形，如圖2所示，
令y=-（x+1）²+4=0，解得x=1，x=-3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
即直線BC的解析式為y=-3x+3．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n+3）（其中-3＜n＜0），則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{n}{3}$，n+3），M點(diǎn)坐標(biāo)為（n，0），N點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{n}{3}$，0）．
∴PM=n+3，PQ=-$\frac{n}{3}$-n=-$\frac{4}{3}$n，
矩形PMNQ的面積=PM×PQ=（n+3）×（-$\frac{4}{3}$n）=-$\frac{4}{3}$（n²+3n）=-$\frac{4}{3}$${（n+\frac{3}{2}）}^{2}$+3．
故當(dāng)n=-$\frac{3}{2}$時(shí)，矩形PMNQ的面積最大，最大面積為3．
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵：（1）由直線解析式求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再代入拋物線解析式即可；（2）利用三角形的面積公式結(jié)合S_△AFE=4找出關(guān)于m的一元二次方程；（3）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用含n的代數(shù)式表示出矩形面積，由求極值的方法解決問題．